Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка

Пусть А и В — произвольные точки плоскости с координатами А (х1; y1;z1) и В (х2; у2;z2) соответственно. Тогда длина отрезка : Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Пусть М(х;у;z) середина отрезка АВ. Тогда верны формулы Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Векторы и координаты

Величины, которые характеризуются не только численным значением, но и направлением, называют векторами. Геометрически векторы изображаются направленными отрезками. Вектор характеризуется следующими элементами: начальной точкой, направлением, длиной.

Если начало вектора есть А, а его конец В, то вектор обозначается символом Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они, либо лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых. Обозначаются коллинеарные векторы так: Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru .

Длина вектора – это длина отрезка, изображающего вектор.

Если два ненулевых вектора Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru и Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru коллинеарны и имеют одно направление – то они называются сонаправленными, если противоположное – то противоположно направленными.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны, т.е.

1) Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru ↑↑ Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

2) Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Сложение векторов

Если два вектора Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru и Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru выходят из одной точки, то их суммой будет вектор Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах , и выходящей из этой же точки(правило параллелограмма) Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru + Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru = Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Если один вектор выходит из конца другого, то суммой будет вектор, соединяющий начало одного с концом другого (правило треугольника).

Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Если два вектора Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru и Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru выходят из одной точки, то разностью их будет вектор Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, и выходящей из конца второго вектора в начало первого Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru - Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru = Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Произведением вектора Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru на число Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru называется вектор, обозначаемый Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru , длина которого равна Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru и который сонаправлен с вектором Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru , если Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru >0 и противоположно направлен с ним, если Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru <0.

ТЕОРЕМА Если точка М- середина отрезка АВ, то для любой точки Р верно равенство Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru = Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru ( Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru + Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru ) Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

ТЕОРЕМА. Два ненулевых вектора Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru и Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru , такое что Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.

Для сложения трех некомпланарных векторов справедливо правило параллелепипеда: если три вектора Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru , Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru , Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru отложены от одной точки и построен параллелепипед для которого отрезки OA,OB,OC- являются ребрами, то диагональ ОМ этого параллелепипеда изображает сумму векторов Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru , Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru , Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru .То есть Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru + Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru + Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru = Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Угол между векторами

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

Координаты вектора

Если точка А имеет координаты (х1; у1;z1), а точка В имеет координаты (х2; у2;z2),

то координаты вектора Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru это числа (x2-x1); (y2-y1); (z2-z1).

Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru , то есть чтобы найти координаты вектора надо из координат конца вектора вычесть соответственно координаты начала вектора.

В этом случае длина вектора выражается через его координаты следующим образом:

Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru = Нахождение длины отрезка и координат середины отрезка - student2.ru

При сложении векторов складываются их координаты.

При умножении вектора на число k, на это число умножается каждая из его координат.

Если два вектора равны, то соответственно равны их координаты.

Наши рекомендации