Формулы сокращённого уравнения

Исследование корней квадратного уравнения в зависимости от знака дискриминанта

ax²+bx+c=0

─ находим D=b²-4ac

· если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней;

· если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень x= ;

· если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня;

Билет №2 Линейные неравенства. Квадратные неравенства. Методы решения квадратных неравенств.

Линейнымназываются неравенство вида ax>b, a≠0

Для решения линейного неравенства ax>b, a≠0 необходимо почтенно разделить на коэффициент а. Тогда получим: x> , если a>0; x< , если a<0.

Квадратным называется неравенство вида ax²+bx+c>0, a≠0

(Вместо знака > в неравенстве ax²+bx+c>0 может стоять любой из знаком ≥, <, ≤) Для решения неравенства ax²+bx+c>0 необходимо найти дискриминант и корни соответствующего квадратного уравнения ax²+bx+c=0:

D=b²-4ac; x_1,2= , если D≥0.

Затем удобно воспользоваться графическим представлением функции y= ax²+bx+c (парабола). При этом возможны следующие 4 случая (рис. 1,2) и соответствующие им множества решений неравенства ax²+bx+c>0

1. a>0, D>0 (рис. 2). Парабола пересекает ось Ох в точках х₁ и х₂ (х₁≤x₂), и ее ветви направлены вверх. В этом случае решение неравенства ax²+bx+c>0 представляет собой объединение двух бесконечных интервалов числовой оси: х (-∞;x₁) (x₂;+∞).

2. a>0, D<0 (рис. 2). Парабола расположена выше оси Ох. Неравенство ax²+bx+c>0 выполнено при любых значениях переменной: x R.

3. a<0, D 0 (рис. 3). Парабола пересекает ось Ох в точках х₁ и х₂, а ее ветви направлены вниз. Тогда решение неравенства ax²+bx+c>0 представляет собой интервал: x (x₁; x₂).

4. a<0, D<0 (рис. 3). Парабола расположена ниже оси Ох. Неравенство не имеет решений.

Метод интервалов решения кв.уравнения:

1. Находим нули квадратного трехчлена a·x2+b·x+c из левой части квадратного неравенства.

2. Изображаем координатную прямую и при наличии корней отмечаем их на ней. Причем если решаем строгое неравенство, то отмечаем их пустыми (выколотыми) точками, а если решаем нестрогое неравенство – то обычными точками.

3. Определяем, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке

4. Если решаем квадратное неравенство со знаком > или ≥, то наносим штриховку над промежутками со знаками +, если же решаем неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.

5. Записываем ответ.

Метод решения кв. неравенства:

1. Найти корни неравенства

2. Отметить найденные корни на оси Х и определить куда направлены ветви параболы.

3. Определить на каких промежутках оси Х ординаты графика положительны (отрицательны).

Билет №3

Формулы сокращённого уравнения

· (a+b)=a²+2ab+b²,

· (a-b)=a²-2ab+b²,

· (a-b)(a+b)=a²-b²,

· (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³,

· (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³,

· (a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³,

· (a-b)(a²+ab+b³)=a³-b³.

Билет №4 Понятие степени. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Если n – натуральное число, n≥2, m- целое число и частное является целым числом, то при а>0 справедливо равенство

Для любых рациональных показателей степени при a>0, b>0 справедливы следующий свойства:

· a^p×a^q=a^p+q,

· a^p÷a^q=a^p-q,

· (a^p)^q=a^p*q,

· (ab)^p=a^pa^p,

· ^p= .

Билет №5 Корни натуральной степени и их свойства

Арифметическим корнемнатуральной степени n≥2 из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Арифметический корень n-й степени обладает следующими свойствами: если а≥0, b>0, n, m и k – натуральные числа, причем n≥2, m≥2, то

1)

2)

3)

4)

5)

Билет №6 Степенная функция, её свойства и график

Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т.е. функции y=x^p, где p – заданное действительное число.

Степенная функция — функция., где. (показатель степени) — некоторое вещественное число.