Численное решение дифференциальных уравнений с частными производными
Часто при моделировании физических процессов и явлений получаются уравнения, которые содержат функции нескольких переменных и частные производные от этих функций. Такие уравнения называются уравнениями с частными производными (или уравнения в частных производных).
Приведем примеры уравнений второго порядка с частными производными разных типов:
– волновое уравнение (гиперболическое)
;
– уравнение теплопроводности или диффузии (параболическое)
, 
;
– уравнение Пуассона (эллиптическое)
.
Если правая часть последнего уравнения равна нулю 
, то оно называется уравнением Лапласа.
Решение дифференциальных уравнений рассматривается, как правило, для систем, ограниченных в пространстве и в течение конечного промежутка времени. Следовательно, решение уравнения ищется в ограниченной, в данном случае прямоугольной, области G:
. (1)
Для получения частного решения параболического уравнения (уравнения теплопроводности) необходимо задать одно начальное условие и два граничных. Начальное условие может быть задано в виде
, 
, (2)
где 
– заданная функция, определяющая значение функции 
в начальный момент времени 
.
Граничные условия задают значения функции при 
и 
могут иметь, например, следующий вид:
, 
, 
, (3)
где 
и 
– заданные функции.
Например, если – температура тонкого однородного стержня длинной l, то условия (2) задает начальное значение температуры каждой точки стрежня при , а условия (3) означают, что температура в начале и конце стержня задана в каждый момент времени, в частности, поддерживается постоянной 
и 
.
Геометрической интерпретацией искомого решения является поверхность в пространстве 
, которая проецируется на область G плоскости 
, причем в соответствии с (2) и (3) заданы три кривые, которые представляют собой края этой поверхности (рис. 7.1). Внутри области G значения функции неизвестны, поэтому неизвестна форма поверхности и ее требуется найти путем решения начально-краевой нестационарной задачи.
Для обеспечения единственности решения уравнения гиперболического типа (волнового уравнения) необходимо задать два начальных условия и два граничных условия. Начальные условия, как правило, задаются в виде:
, 
, , (4)
где и 
– заданные функции, определяющие значение функции и ее первой производной по t в начальный момент времени . Граничные условия задаются аналогично (3). Геометрически решению данной начально-краевой задачи соответствует поверхность в пространстве (рис. 7.1).
Наиболее распространенными и универсальными среди численных методов для решения уравнений с частными производными являются разностные (сеточные) методы. Как и в случае решения обыкновенных дифференциальных уравнений в их основе лежит идея дискретизации задачи и замене частных производных, которые входят в уравнения, их приближенными разностными отношениями. При этом исходное дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, называемой разностной схемой. Решая эту систему можно найти в узлах сетки значения сеточной функции, которые приближенно считаются равными значениям искомой функции.
В случае прямоугольной области G расчетная сетка строится следующим образом (рис. 7.2). Отрезок 
на оси x разбивается на n равных частей длины 
, при этом получается 
узловых точек 
, 
. Аналогично отрезок 
на оси y разбивается на m равных частей длины 
, при этом получается 
узловых точек 
, 
. Проводя через эти точки прямые, параллельные осям координат, получаем сетку, разбивающую область G на элементарные прямоугольные ячейки. Любой узел сетки, номер которого 
, определяется координатами 
. Решение задачи ищется именно в этих точках. Поскольку все ячейки построенной сетки одинаковы, такую сетку называют равномерной. Узлы сетки, лежащие на границе области G, называются граничными узлами; все остальные узлы – внутренними.
Аналогично вводятся сетки и для многомерных областей, содержащих более двух измерений.
Для построения разностной схемы, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, частные производные в уравнении приближенно заменяются конечно-разностными отношениями. При этом точные значения искомой функции заменяются значениями сеточной функции в узлах сетки.
Уравнение теплопроводности. Уравнение параболического типа возникает при рассмотрении так называемых явлений переноса, при которых происходят процессы передачи теплоты, массы, количества движения. В частности, к явлениям переноса относятся теплопроводность, диффузия, внутреннее трение. Рассмотрим типичную постановку начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности, описывающего, например, распространение тепла в однородном стержне постоянного сечения:
, , 
, ,
(5)
, 
, 
,
где 
– начальное распределение температуры U вдоль стержня (при ); , – значения температуры на концах стержня в любой момент времени t. Коэффициент a определяется теплопроводностью k и удельной теплоемкостью l материала стержня ( 
). Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т.е. 
, 
.
Введем равномерную сетку с помощью координатных линий 
( ), 
( 
); h и t – шаги сетки по направлениям x и t, соответственно. Значения искомой функции в узлах сетки обозначим 
. Эти значения заменим соответствующими значениями сеточной функции 
, которые удовлетворяют уравнениям, образующим разностную схему.
Заменим в уравнении (5) частные производные искомой функции приближенными разностными отношениями:
, 
Подстановка этих соотношений в (5) дает систему разностных уравнений для внутренних узлов сетки
,
(6)
, 
Значения сеточной функции в граничных узлах сетки определяются начальными и граничными условиями:
, ,
(7)
, 
,
Соотношения (6) в совокупности с дополнительными условиями (7) образует замкнутую систему уравнений называемую разностной схемой.
Совокупность узлов при фиксированном значении j называется слоем (в данном случае временным слоем).
Схема (7.10) позволяет последовательно находить значения 
( ) на 
-м слое через соответствующие значения на j-том слое:
.
( 
) (8)
Если функция в правой части уравнения не равна нулю, то соотношение (8) примет следующий вид:
( )+ 
(9)
Рассмотренная выше явная разностная схема (6) является условно устойчивой. Можно показать, что решение будет устойчивым только при выполнении условия
. (10)
Задание:Решить параболическое уравнение описывающее распределение температуры в ,
стержне длиной L=5 на временном интервале Т=2 , начальная температура стержня задается произвольной функцией
φ(x)=exp(0.15x). Температуры концов стержня равны 
.
Задаются параметры:L (длина стержня),T (временой интервал), N (число разбиений по длине),K (число разбиений по времени), a (коэффициент температуропроводности), 
.
На выходе:вектора x,t и матрица решений u