Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными

Как известно, общее решение обыкновенного дифференциального уравнения Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru го порядка представляется функцией от независимой переменной Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru и Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru произвольных постоянных интегрирования Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru :

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru (4.1)

Зная это общее решение, можно решить ту или иную задачу, например, задачу Коши, определяя соответствующим образом постоянные Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru .

Для дифференциальных уравнений с частными производными невозможно указать единого вида общего решения, аналогичного (4.1), но можно находить его в отдельных частных случаях путем непосредственного интегрирования их канонических форм. Этот факт мы проиллюстрируем на некоторых примерах уравнений.

Пример 4.1. Найти общее решение уравнения колебаний струны

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru (4.2)

Решение. Сначала приведем его к каноническому виду. Характеристическое уравнение (3.9) в нашем случае имеет вид:

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

а его общие решения -

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Следовательно, в соответствии с (3.12) за новые переменные Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru берем

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru (4.3)

Так как

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

то из формул (3.4) получим

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Подставив эти значения Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru в уравнение (4.2), получим канонический вид уравнения колебаний струны

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru (4.4)

Найдем общее решение уравнения (4.4). Обозначим

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru (4.5)

Тогда уравнение (4.4) примет вид

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru (4.6)

Уравнению (4.6) удовлетворяет любая функция, не зависящая от Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru . Следовательно,

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru (4.7)

где Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru произвольная функция переменной Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru . Подставляя (4.7) в (4.5), имеем

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru (4.8)

Проинтегрируем уравнение (4.8) по переменной Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru , рассматривая Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru как параметр и беря постоянную интегрирования в виде произвольной функции этого параметра. В результате получим

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

где Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru произвольная функция Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru . Обозначив Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru окончательно получим

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Возвращаясь к старым переменным Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru с помощью соотношений (4.3), будем иметь

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru (4.9)

Нетрудно проверить, что функция (4.9) есть решение уравнения (4.2), если Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru и Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Выражение (4.9) является общим решением уравнения свободных колебаний струны (4.2).

Пример 4.2.Найти общее решение уравнения

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru .

Решение. Сначала приведем его к каноническому виду. Составим ха-

рактеристическое уравнение и решаем его:

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru характеристики уравнения.

Следовательно, в соответствии с (3.12) за новые переменные Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru берем

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Так как

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

то из формул (3.4) получим

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Подставим эти значения Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru в уравнение:

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

откуда получим его канонический вид: Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru общее решение которого дается формулой (см. пример 4.1) Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru Возвращаясь

к старым переменным Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru , получаем окончательно

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

где Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru и Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Пример 4.3.Найти общее решение уравнения

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Решение. Составим характеристическое уравнение и решаем его:

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru комплексно сопряженные характеристики уравнения.

Поэтому за новые переменные Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru берем

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Так как

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

то из формул (3.4) получим

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Подставим эти значения Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru в уравнение:

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

откуда получим его канонический вид: Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru уравнение Лапласа.

Из теории аналитических функций комплексного переменного известно, что действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Следовательно, общее решение уравнения Лапласа можно записать в виде

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

где Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru произвольная аналитическая функция аргумента Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru Возвращаясь к старым переменным Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru , получаем общее решение исходного уравнения в виде

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Пример 4.4.Найти общее решение уравнения

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Решение. Составим характеристическое уравнение и решаем его:

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Итак, характеристическое уравнение имеет одно семейство действительных характеристик. Положим Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru , а за Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru в соответствии с вышесказанным возьмем любую дважды непрерывно дифференцируемую функцию, для которой якобиан Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru Например, пусть Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru Тогда

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Так как

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

то подставляя эти значения производных в (3.4), получаем

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Теперь эти выражения производных внесем в исходное уравнение:

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

откуда Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru канонический вид уравнения. Решаем его. Обозначим Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ruТогда уравнение примет вид: Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru Это есть уравнение с разделяющимися переменными, при этом переменная Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru считается параметром. Получаем

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

где Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru постоянные интегрирования, представляющие собой произвольные функции переменной Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru . Возвращаясь к старым переменным Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru , получаем общее решение исходного уравнения в виде

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции аргумента Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Задачи

Найти общее решение уравнений:

4.1. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ; 4.2. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ;

4.3. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ; 4.4. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ;

4.5. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ; 4.6.Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ;

4.7. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ;

4.8. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ;

4.9. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

4.10. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Ответы:

4.1. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ; 4.2. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ;

4.3. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ; 4.4. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ;

4.5. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ; 4.6. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ;

4.7. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ; 4.8. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ;

4.9. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru ;

4.10.Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными - student2.ru

Наши рекомендации