Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Пусть L_n – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : L_n® L_n – линейное преобразование и А –матрица этого преобразования в некотором базисе е.

Определение 40. Ненулевой вектор а называется собственным вектором преобразования j, если j(а) = l×а для некоторого l Î Р. Элемент l называется собственным значениемпреобразования j.

По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования j Û $l Î Р : j(а) = l×а. Перепишем это равенство в координатах, получим А×х = l×х. Отсюда А×х – (lЕ)×х= О, или (А –lЕ)×х = О. Итак, а – собственный вектор преобразования j Û столбец координат этого вектора является ненулевым решением уравнения (А –lЕ)×х = О (38). Матрица (А –lЕ) называется характеристической матрицей для матрицы А. Матричное уравнение (38) перепишем в виде системы уравнений. Получим, что а – собственный вектор

(39)	преобразования j Û (х1, х2, … , хn ) – ненулевое решение системы (39), при этом все хк принадлежат полю Р. Так как (39) система линейных однородных уравнений и число уравнений равнее числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, т.е.
(40)	имеет место равенство (340). Уравнение (40) называется характеристическим уравнением матрицыА. Определитель системы, т.е. | А – lЕ |, называется характеристическим многочленом матрицы А.

Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы А. ( Характеристический корень не всегда принадлежит полю Р). Множество всех характеристических корней матрицы А называется её спектром.

Согласно определению 40, l Î Р. Пусть l₀ Î Р и является характеристическим корнем матрицы А. При l₀ система (39) имеет ненулевое решение, т. е. j будет иметь собственный вектор и l₀ будет собственным значением преобразования j, заданного матрицей А.

Теорема 37. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.

Доказательство. Пусть В = С^–1×А×С. Так как матрица lЕ перестановочна с любой матрицей, то | В – lЕ | = | С^–1×А×С – lЕ | = | С^–1×А×С – С^–1 ×(lЕ)×С | = | С^–1×(А – lЕ)×С | = |С^–1 || А – lЕ ||С| = | А – lЕ |.

Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобна, то

Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах имеют один и тот же спектр.

Определение 41.Спектр матрицы линейного преобразования в каком-нибудь базисе называется спектром линейного преобразования.

Теорема 38. Собственными значениями линейного преобразования j : L_n® L_n , действующего в линейном пространстве над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.

Доказательство этой теоремы вытекает из всего сказанного выше.

Можно сформулировать следующие правила нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

1. Записать матрицу данного преобразования в некотором базисе.

2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни, принадлежащие полю Р (т.е. найти собственные значения).

3. Если l₀ – собственное значение, то составить систему и найти её ненулевые решения.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования j : L₄® L₄ (над полем R), если это преобразование в базисе е =(е₁, е₂, е₃,е₄) имеет матрицу А.

А = .

Решение. Составим характеристическое уравнение (*). Используя теорему Лапласа, раскроем определитель, получим уравнение:

(*)

, [(1 – l )² – 1]×[(1– l )×(3 –l ) – 6] = 0. Возможны два случая:

1) (1 –l )² – 1 = 0, 1 – l = ± 1. Отсюда l₁ = 0, l₂ = 2.

2) (1– l )×(3 –l ) – 6 = 0, l² – 4l – 3 = 0, l₃ = , l₄ = . Итак, характеристическое уравнение имеет четыре корня, все они действительные. Поэтому данное преобразование имеет четыре собственных значения. Для каждого из них составим систему уравнений для нахождения собственных векторов.

1) При l = 0.

Отсюда х2 = – х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения, получим Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₄ = , х₃ = . Если х₁ = 3С, то х₂ = –3С, х₃ = 13С, х₄ = –11С, С – любое действительное число, отличное от нуля. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 0, являются все ненулевые векторы вида (3С, –3С, 13С, –11С ).

2) При l = 2.

Отсюда х2 = х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения. Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₃ = , х₄ = Если х₁ = 7С, то х₂ = 7С, х₃ = –15С, х₄ = –11С, где С – любое отличное от нуля действительное число. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2, являются все ненулевые векторы вида (7С, 7С, –15С, –11С ).

3) При l = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из этой системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С, ).
4) При l = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0 . Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из полученной системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С, (1 )С).

Свойства собственных векторов.

1⁰. Если вектор а – собственный вектор преобразования j, принадлежащий собственному значению l и a ¹ 0, то a×а – тоже собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению.

Если j (а ) = lа, то j(aа) =aj(а) = a(lа) = l(aа).

2⁰. Множество всех собственных векторов линейного преобразования j : L_n® L_n , принадлежащих одному и тому же собственному значению (если к ним добавить нулевой вектор), есть линейное подпространство в L_n.

Пусть а и в два собственных вектора и j(а ) = lа, j(в) = lв. Тогда j(aа+ bв) = aj(а) + bj(в) = a(lа) + b(lв) = l(aа + bв).

3⁰. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Пусть j(а ) = lа, j(в) = l₁в, l ¹ l₁. Если бы а и в были бы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражался через другой пусть в = aа. Так как в – собственный вектор, то a ¹ 0. Тогда j(в) = j(aа). Отсюда l₁в = a(lа), l₁(aа) = a(lа), a(l₁ – l)а = 0. Но в левой части a ¹ 0, l₁ – l ¹ 0, а¹ 0. Противоречие. Следовательно, а и в – линейно независимы.

4⁰. Если в базисе е = (е₁, е₂,... , е_к, … , е_n ) вектор е_к – собственный вектор линейного преобразования j, принадлежащий собственному значению l, то в к-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и а_кк = l.