Миноры и алгебраические дополнения

Если в матрице 3-го порядка вычеркнуть строку и столбец, то определитель, порождённый оставшейся матрицей 2-го порядка, называется минором того элемента, на котором пересекаются вычеркнутые ряды.

Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, умноженный на (-1)p , где р – сумма номеров рядов, пересекающихся , пересекающихся на нашем элементе.

Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов парных произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru = a1 A1 + a2 A2 + a3 A3.

Операции над матрицами.

Матрицы подобно векторам можно склады­вать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции:

1°. Суммой двух матриц А = (aij) и В = (bij) с одинаковым ко­личеством m строк и n столбцов называется матрица С = (cij), элементы которой определяются равенством aij + bij = cij, (i = 1, 2, … , m; j =1, 2, ... , n).

Обозначение: A + В = С.

Пример 1.

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru + Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Аналогично определяется разность двух матриц. aij – bij = cij,

Обозначение: A – В = С.

Свойства операции сложения матриц:

1) коммутативность: А + В = В + А.

2) ассоциативность: (А + В) + С = А + (В + С).

3) Дистрибутивность: k×(А + В) = k×А + k×В, (k + t)×А =k×А + t×А

2°. Произведением матрицы А = (aij) на число k, называется мат­рица, у которой каждый элемент равен произведению соответствую­щего элемента матрицы А на число k: k×А = k×(aij) = (k×aij), (i = 1, 2, … , m; j =1, 2, ... , n).

Пример 2.

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

3°. Произведением матрицы А = (aij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу В = ((bij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С = (cij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i-й стро­ки матрицы А и j-го столбца матрицы В, т. е.

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aik bkj (i = 1, 2, … , m; j =1, 2, ... , n).

При этом число k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено. Произведение обозначается так: А×В = С.

Пример 3.

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru × Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Пример 4. Пусть А = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , В = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , тогда А×В = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru × Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , а

В×А = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru × Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Отсюда получаем, что А×В ¹ В×А, т. е. умножение матриц не обладает перестановочным свойством.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что для суммы и произведения матриц справедливы следующие соотношения:

(А + В)×С = А×С + В×С; С×(А + В) = С×А + С×В; (А×В)×С = А×(В×С);

4°. Умножение на единичную матрицу. Совокупность элемен­тов а11, а22, … , аnn rвадратной матрицы А = (aij) называется глав­ной диагональю матрицы. Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы рав­ны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е.

Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Е = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru

Единичная матрица обладает замечательным свойством, а имен­но: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответству­ющую единичную матрицу не меняет матрицу. Это свойство и объяс­няет ее название «единичная»: при умножении матриц она обладает таким же свойством, как число 1 при умножении чисел.

А×Е = Е×А = А

Ранг матрицы.

Рангом матрицы А называют наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А.

Пример.

A = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru меняем местами 1 и 2 столбцы: A ~ Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , затем умножаем первую строку на ½: А ~ Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , прибавляем к 3 столбцу удвоенный первый столбец: А ~ Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru . Умножим 1 строку на 4 и сложим со 2-й строкой, затем на (-1) и сложим с 3-й, и наконец, на (–5) и сложим с 4-й. В результате этих элементарных преобразований получится матрица, эквивалентная исходной:

А ~ Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru . Далее последовательно будем преобразовывать строки и столбцы матрицы, не меняя 1-й строки и 1-го столбца:

1) умножим 2-ю строку на (–1);

2) умножим 2-ю строку на (–3) и сложим с 3-й строкой;

3) умножим второй столбец на (–3) и сложим с 3-м столбцом. В результате этих элементарных преобразований последовательно получаются матрицы:

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ~ Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ~ Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Не все миноры 2-го порядка равны 0, а значит rang (А) = 2.

Наши рекомендации