Миноры и алгебраические дополнения
Если в матрице 3-го порядка вычеркнуть строку и столбец, то определитель, порождённый оставшейся матрицей 2-го порядка, называется минором того элемента, на котором пересекаются вычеркнутые ряды.
Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, умноженный на (-1)p , где р – сумма номеров рядов, пересекающихся , пересекающихся на нашем элементе.
Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов парных произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.
= a1 A1 + a2 A2 + a3 A3.
Операции над матрицами.
Матрицы подобно векторам можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции:
1°. Суммой двух матриц А = (aij) и В = (bij) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица С = (cij), элементы которой определяются равенством aij + bij = cij, (i = 1, 2, … , m; j =1, 2, ... , n).
Обозначение: A + В = С.
Пример 1.
+ = = .
Аналогично определяется разность двух матриц. aij – bij = cij,
Обозначение: A – В = С.
Свойства операции сложения матриц:
1) коммутативность: А + В = В + А.
2) ассоциативность: (А + В) + С = А + (В + С).
3) Дистрибутивность: k×(А + В) = k×А + k×В, (k + t)×А =k×А + t×А
2°. Произведением матрицы А = (aij) на число k, называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k: k×А = k×(aij) = (k×aij), (i = 1, 2, … , m; j =1, 2, ... , n).
Пример 2.
3× = = .
3°. Произведением матрицы А = (aij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу В = ((bij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С = (cij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, т. е.
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aik bkj (i = 1, 2, … , m; j =1, 2, ... , n).
При этом число k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено. Произведение обозначается так: А×В = С.
Пример 3.
× = = .
Пример 4. Пусть А = , В = , тогда А×В = × = , а
В×А = × = .
Отсюда получаем, что А×В ¹ В×А, т. е. умножение матриц не обладает перестановочным свойством.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что для суммы и произведения матриц справедливы следующие соотношения:
(А + В)×С = А×С + В×С; С×(А + В) = С×А + С×В; (А×В)×С = А×(В×С);
4°. Умножение на единичную матрицу. Совокупность элементов а11, а22, … , аnn rвадратной матрицы А = (aij) называется главной диагональю матрицы. Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е.
Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица
Е =
Единичная матрица обладает замечательным свойством, а именно: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу. Это свойство и объясняет ее название «единичная»: при умножении матриц она обладает таким же свойством, как число 1 при умножении чисел.
А×Е = Е×А = А
Ранг матрицы.
Рангом матрицы А называют наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А.
Пример.
A = меняем местами 1 и 2 столбцы: A ~ , затем умножаем первую строку на ½: А ~ , прибавляем к 3 столбцу удвоенный первый столбец: А ~ . Умножим 1 строку на 4 и сложим со 2-й строкой, затем на (-1) и сложим с 3-й, и наконец, на (–5) и сложим с 4-й. В результате этих элементарных преобразований получится матрица, эквивалентная исходной:
А ~ . Далее последовательно будем преобразовывать строки и столбцы матрицы, не меняя 1-й строки и 1-го столбца:
1) умножим 2-ю строку на (–1);
2) умножим 2-ю строку на (–3) и сложим с 3-й строкой;
3) умножим второй столбец на (–3) и сложим с 3-м столбцом. В результате этих элементарных преобразований последовательно получаются матрицы:
~ ~ .
Не все миноры 2-го порядка равны 0, а значит rang (А) = 2.