Миноры и алгебраические дополнения.

Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно pстрок и pстолбцов (p < n), то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru .

Определитель этой матрицы называется минором исходного определителя. Например, рассмотрим определитель Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru :

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru

Из строк и столбцов с чётными номерами построим матрицу:

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru

Определитель
Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru

называется минором определителя Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru . Получили минор второго порядка. Ясно, что из Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru
можно построить различные миноры первого, второго и третьего порядка.

Если взять элемент Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru и вычеркнуть в определителе Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru строку и столбец, на пересечении которых он стоит, то получим минор, называемый минором элемента Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru , который обозначим через Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru :

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru .

Если минор Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru умножить на Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru , где 3 + 2 – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru то полученное произведение называется алгебраическим дополнением элемента Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru и обозначается Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru ,

т.е.

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru

Вообще, минор элемента Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru будем обозначать Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru , а алгебраическое дополнение Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru ,

причём

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru (4)

Для примера вычислим алгебраические дополнения элементов Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru и Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru определителя третьего порядка Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru :

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru

По формуле (4) получим
Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru

Для вычисления определителя n-го порядка полезно знать следующую теорему: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru (i = 1, 2, ..., n)

№15

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru (1)

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru — количество уравнений, а Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11,a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными[1]. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[2].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называетсянеопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru

или:

Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru .

Здесь Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru — это матрица системы, Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru — столбец неизвестных, а Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru — столбец свободных членов. Если к матрице Миноры и алгебраические дополнения. - student2.ru приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Наши рекомендации