Миноры и алгебраические дополнения

Минором Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru элемента Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru определителя (матрицы) Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru -го порядка называется определитель матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - го порядка, полученной из матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru вычеркиванием Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - строки и Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - го столбца.

Например, минором элемента Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru третьего порядка будет определитель второго порядка, полученный вычеркиванием 2-ой строки и 1-го столбца:

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Каждая матрица Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru -го порядка имеет Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru миноров Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru порядка.

Алгебраическим дополнением Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru элемента Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru определителя (матрицы) Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - го порядка называется его минор, взятый со знаком Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru :

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru (2.5)

Например, Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Теорема Лапласа[2]. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения[3]:

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru (2.6)

(разложение по элементам Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru -ой строки; Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru )

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru (2.7)

(разложение по элементам Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - го столбца; Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru )

Пример 4.Вычислить определитель Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Решение: Вычислим определитель разложением по элементам второй строки, т.к. в ней содержится максимальное количество нулевых элементов:

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru [разложим последний определитель по элементам первой строки]= Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Определитель треугольного (и, очевидно, диагонального) вида равен произведению элементов главной диагонали.

Пример 5.Вычислить определитель Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Решение: Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Свойства определителей

10. Если определитель содержит нулевую строку (или столбец), то он равен нулю.

20. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , то определитель умножится на это число.

Замечание: За знак определителя можно выносить общий множитель всех его элементов.

30. При транспонировании определитель не изменяется, т.е. Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

40. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

50. Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

60. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

70. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю, т.е. Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru при Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

80. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

90. Сумма произведений привольных чисел Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной матрицы заменой элементов этой строки (столбца) на числа Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

100. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , если Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru и Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - го порядка.

Замечание: Если Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , то Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Перечисленные свойства определителей позволяют значительно упростить их вычисления, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать его с помощью свойств 10-90, чтобы преобразованный определитель имел строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а затем найти определитель разложением по этой строке (столбцу).

Пример 6.Вычислить определитель четвертого порядка Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Решение: Преобразуем определитель так, чтобы, в третьей строке все элементы кроме одного обрались в нуль. Для этого умножим, например, элементы третьего столбца на (-4) и на 2 и прибавим их соответственно к элементам 1-ого и 2-ого столбцов. Получим

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru [разложим полученный определитель по элементам третьей строки]= Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или с помощью теоремы Лапласа, но можно продолжить «упрощение» матрицы. Например, «обнулим» элементы второй строки (кроме одного):

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru [прибавим к элементам первого столбца матрицы соответствующие элементы третьего столбца, умноженные на (-13)]= Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru =[к элементам второго столбца прибавим соответственные элементы третьего столбца, умноженные на 4]= Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru . Раскладывая по элементам второй строки и вынося общие множители элементов первой строки и второй строки за знак определителя, получаем

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru [теперь вынесем за знак определителя общий множитель элементов первого столбца и элементов второго столбца]=

= Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Ранг матрицы

В матрице Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru размера Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - го порядка, где Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , где Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru – меньшее из чисел m и n. Определители таких подматриц называются минорами Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru -го порядка матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Например, из матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru обозначается Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , или Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Минор, который определяет ранг матрицы, называетсябазисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Из определения следует:

а) ранг матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

б) Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

в) для квадратной матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru -го порядка Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru тогда и только тогда, когда матрица Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - невырожденная.

Пример 7.Найти ранг матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru и указать один из базисных миноров.

Решение: Так как у матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru есть ненулевые элементы, то Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru . Найдем какой-нибудь ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким минором является, например, Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru . Значит, Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru :

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru [разложим определитель по второй строке]= = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru [разложим определитель по 1-ому столбцу]= = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Все миноры 3-го порядка, окаймляющие Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , равны нулю, следовательно, Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru . Итак, Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Одним из базисных миноров является Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

К элементарным преобразованиям относятся следующие:

1) отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3) изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умножен­ных на любое число.

5) транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преоб­разованиях матрицы.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна получается из другой с помощью эквивалентных преобразований. Обозначается эквивалентность знаком ~.

Из теоремы следует, что эквивалентные матрицы имеют одинаковые ранги.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, тогда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru (3.1)

где Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Замечание. Условие Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , так как имеется минор Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - го порядка, не равный нулю:

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru

Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований покажем на примере.

Пример 8.Найти рангматрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru методом элементарных преобразований.

Решение: 1. Если Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , то перестановкой строк или столбцов добиваемся того, что Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru . В данном примере поменяем местами, например, первую и вторую строки.

2. Если Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , то умножая элементы первой строки на подходящие числа (а именно, на 0, 2 и 1) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам второй[4], третьей и четвертой строк, добьемся, чтобы все элементы первого столбца (кроме Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ) равнялись нулю:

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru

3. Если в полученной матрице Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru (в нашем примере Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ), то умножая элементы второй строки на подходящие числа (а именно на -3 и -3) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам третьей и четвертой строк, добьемся, чтобы все элементы второго столбца (кроме Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru и Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ) равнялись нулю. Если в процессе преобразований получаются нулевые строки (или столбцы) (как в данном примере), то их следует отбросить:

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка, не равные нулю, например, Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно, и данной матрицы равен 2.

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

1) Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ; 2) Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

3) Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ; 4) Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

5) Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ; 6) Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , если Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - квадратная матрица и Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

7) Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , если Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru и Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - квадратные матрицы и Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

8) Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , где Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - число столбцов матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru или строк матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк (или столбцов).

Пусть строки матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Строка Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru называется линейной комбинацией строк Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru матрицы, если

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru (3.2)

где Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru . (Равенство (3.2) понимается в смысле поэлементного сложения строк)

Строки матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru называются линейно зависимыми, если существуют такие числа Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация строк равна нулевой строке:

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru (3.3)

где Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Если равенство (3.3) выполняется тогда и только тогда, когда Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , то строки матрицы называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк и столбцов, через которые линейно выражаются все ее остальные строки (столбцы).

В предыдущем примере число линейно независимых строк матрицы равно 2.

Обратная матрица

Для каждого числаМиноры и алгебраические дополнения - student2.ruсуществует обратное число Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru такое, что произведение Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Матрица Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru (4.1)

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Если определитель матрицы отличен от нуля Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ) — вырожденной, или особенной.

Присоединенной матрицей к квадратной матрице Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru называется матрица Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru к элементам Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. Причем

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru (4.2)

где Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru - матрица, присоединенная к матрице Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

10. Находим определитель исходной матрицы. Если Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , то матрица Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru вырожденная и обратной матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru не существует. Если Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , то матрица Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru невырожденная и обратная матрица существует.

20. Находим матрицу Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , транспонированную к Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

30. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru и составляем из них присоединенную матрицу Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru : Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

40. Вычисляем обратную матрицу по формуле.

50. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru , исходя из ее определения Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru (п. 5° не обязателен).

Пример 9.Найти матрицу, обратную к матрице Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Решение:

1. Найдем определитель матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru : Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru [разложим по элементам 1-ой строки] = Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

2. Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru :

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ; Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ; Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ; Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

3. Запишем матрицу Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

4. Найдем матрицу Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

5. Сделаем проверку:

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ;

Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

10. Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ; 20. Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ; 30. Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru ; 40. Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Можно показать, что любую невырожденную матрицу Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru с помощью элементарных преобразований только строк или только столбцов можно привести к единичной матрице Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru того же порядка. При этом те же преобразования, совершенный над матрицей Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru в том же порядке, приводят ее к обратной матрице Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru . На этом основан еще один способ нахождения обратной матрицы. Удобно совершать элементарные преобразования над матрицами Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru и Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru одновременно, записывая их рядом через черту.

Пример 10.Найти с помощью элементарных преобразований матрицу, обратную к матрице Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Решение: Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru [умножим элементы первой строки на (-4) и (-7) и прибавим соответственно к элементам 2-ой и 3-ей строк] Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru [к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-2). Затем, элементы второй строки разделим на(-3)] Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru [третью строку разделим на(-9). Затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на (-2)] Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru [к элементам первой строки прибавим соответственные элементы третьей строки, умноженные на (-3) и второй, умноженной на (-2)] Миноры и алгебраические дополнения - student2.ru .

Полученная (справа от вертикальной черты) матрица совпадает с найденной в примере 9.

[1] Саррус Пьер Фредерик (1798-1861) - математик

[2] Лаплас Пьер Симон (1749 – 1827) – французский астроном, математик и физик.

[3] Точнее, данная теорема является частным случаем теоремы Лапласа.

[4] Вторая строка не меняется, т.к. в данном примере

Наши рекомендации