Основные свойства неопределенного интеграла

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

1. За dv бери то, что позволяет легко найти v,

2. За u бери то, для которого du проще ( arcsin(x), arctag(x), ln(x),…)

Инструкция 1. Интегралы от рациональных функций

Правило: разлагай R(x) = P(x)/Q(x) в сумму простых дробей, для этого находи корни уравнения Q(x)= 0, при этом простому корню а кратности к будут соответствовать к слагаемых, содержащих А₁, А₂, … А_к , (к слагаемых), а комплексно сопряженному корню x² +px+q=0 кратности l будут соответствовать слагаемые, содержащие в числителе M₁x +N₁ , M₂x +N₂ , … M_lx +N_l ( l слагаемых), так что

Выражение в правой части снова «сворачивай» в дробь, приравнивай коэффициенты при одинаковых степенях x, получай систему уравнений и находи неизвестные коэффициенты А₁, А₂, …N₁ , M₁ …

Инструкция2. Интегралы от иррациональных функций.

1.

заменяйx =uⁿ , dx= n u^n-1 du так , что бы исчезли все корни

2. .

заменяй(ax +b)/ (px+q) =uⁿ так , что бы исчезли все корни

3. ò dx (ax²+bx +c) ^1/2.

Выделяй полный квадрат, ò сводится либо к ò dx (1-x²) ^1/2либо к ò dx (x² ±1) ^1/2

а) ò dx (1-x²) ^1/2|x = sinu, dx = cosudu |

b) ò dx (x² +1) ^1/2|x = shu, dx = chudu , ch² u–sh² u =1, u = Arshx = ln(x + )|

sh2u = 2shuchu=2x(x²+1)^1/2

c) ò dx (x² - 1) ^1/2|x = chu, dx = shudu ,

4. ò dx / [(x -a)(ax²+bx+c)^1/2 ] | Делай замену x -a= 1/u Þ dx = -(1/ u²) du, x =a+ 1/u

5. ò(Ax +B) dx / (v)^1/2 = A₁ (v)^1/2 + B₁ òdx/ (v)^1/2 (*)

Правило: 1) дифференцируй (*), 2) умножай на (v)^1/2 3) сравнивай коэффициенты

6. Подстановки Чебышева

ò x^m ( a+bxⁿ ) ^p dx

a) Если p целое, то возводи в p

b) Если (m +1) / n целое то Þ a+bxⁿ = z^r, r – знаменатель p

c) (m +1) / n +p Þ a+bxⁿ = xⁿ z ^r, r– знаменатель p

Инструкция3. Интегралы от тригонометрических функций. Интегралы типа:

I. ; II ; III ;

IV

Есть универсальная подстановка, которая работает всегда:

РЕКОМЕНДАЦИИ.

1. Интегралы от четных степеней можно найти путем понижения степени вдвое (понижай степень- увеличивай аргумент!) по формулам

2. Интеграл от нечетных степеней : отделяй один из сомножителей и подводи под дифференциал, например:

3.Интегралы вида II можно найти по правилу 1, если m и n оба четны; если m или n -нечетно.

4. Интегралы вида III можно найти путем замены:

А)

Б)

5. Интегралы вида IV находятся путем разложения на слагаемые по формулам

Неопределенный интеграл.

1.F’(x) = f(x).

F(x) первообразная от f(x).

2. ò f(x)dx= F(x) +C - множество первообразных

Основные формулы

0. ò0 dx =C,
1. ò xk dx = xk+1/ / (k+1) +C, k ¹ -1	2. ò dx/x = ln |x| +C
3. ò ax dx = ax / lna +C	4. ò ex dx = ex +C,
5. ò Cosx dx = Sinx +C ,	6. ò Sinx dx =-Cosx +C
7. ò dx/Cos2x dx = òsec2x dx= tgx +C ,	8. ò dx/Sin2x dx = òcosec2x dx=-ctgx +C
9.	10.
11.	12.
13. ò Chx dx = Shx +C ,	14. ò Shx dx =Chx +C
15. ò Ch-2 x dx = thx +C ,	16. ò sh-2 x dx =-cthx +C ,
17.
18.
12.
9*.	10*
11*.	12*
19.
20.

Основные свойства неопределенного интеграла

1.(ò f(x)dx)’ =[ F(x) +C]’= F’(x) = f(x),

2. d(ò f(x)dx) =d[ F(x) +C]= F’(x)dx = f(x)dx,

3.ò f’(x)dx =ò df(x)= f(x) + C,

4. ò C×f(x)dx= C× òf(x)dx ,

5. ò[f(x) ±g(x)] dx= òf(x)dx ±òg(x)dx ,

6. ò f(u)du= F(u) +C.

Таблица основных дифференциалов

1. , dx=(1/2)d(2x)=(1/2)d(2x+b)=(1/3)d(3x)=..	2. xdx=(1/2)d(x2)=(1/2) d(x2 +b )=(1/2a) d(ax2 +b )
3.	4.
5.cosxdx=d (sinx ) = d(sinx +b), cosaxdx=(1/a) d(sinax ) = (1/ac) d(csinx +b)	6. sinxdx=-d (cosx ) = - d(sinx +b), sinaxdx=-(1/a) d(cosax ) = -(1/ac) d(ccosx +b)
7.dx/ cos2x =dtgx= d(tgx+b), dx/cos2ax =(1/a) dtgax=(1/aC)d(Ctgax+b)	8.dx/ sin2x =-dctgx= -d(ctgx+b), dx/sin2ax =-(1/a)dctgax=-(1/aC)d(Cctgax+b)
9.	9.