Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке х, т.е

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке х, т.е. её приращение в этой точке записывается в виде . Здесь А не зависит от , а – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с , т.е. , где при . Тогда , . Следовательно, производная существует и равна А.

Достаточность. Пусть функция имеет производную в точке х, т.е. . Тогда имеем , где при . Следовательно, , т.е. функция дифференцируема в точке х, что и требовалось доказать.

Замечания:1). Из теоремы следует равносильность утверждений о дифференцируемости функций в точке и о существовании конечной производной функции в этой точке.

2). Коэффициент в разложении (1) равен производной функции , т.е. , что следует из доказательства необходимого условия теоремы. Таким образом,

. (2)

3). Из определения дифференциала имеем

, или . (3)

В частности, для по формуле (3.15) получаем , и тогда

, или . (4)

Из последней формулы следует, что производную функции можно рассматривать как отношение дифференциалов. Таким образом, имеем ещё одно обозначение производной функции :

, или .

Пример:Найти в произвольной точке х дифференциал функций:

а) б) .

Решение:По формуле (4) получаем:

а) ;

б) .

Необходимое условие дифференцируемости функций: если функция дифференцируема в точке , то она имеет производную в этой точке.

Свойства дифференциала:

1) ; 2) ;

3) ; 4) , .

Пример:Найти , , , если и .

Решение:

.