Из теоремы 3 вытекают следующие правила вычисления дифференциалов : пусть функции f и g дифференцируемы в точке х0 , тогда

1. d(f+g) = df + dg ;

2. d(f g) = f(x₀) dg + g(x₀) df ;

3. если g(x₀) 0, то .

Если функции f и g удовлетворяют требованиям, указанным в условии теоремы 4 о производной сложной функции, то для суперпозиции имеем в точке х₀ : dF = , где у₀ = f(x₀).

Опишем свойство дифференциала, которое называют инвариантностью (неизменностью) его формы..

Пусть х_{0 –} некоторое число, а функция φ определена в окрестности равенством φ(х) = х. Приращение и дифференциал этой функции назовем приращением и дифференциалом независимой переменной х и обозначим через Δх и dx соответственно. Заметим: φ(х₀+h) – φ(x₀) =(х₀+h) – x₀ = h; а так как φ′(x) = 1, то dx = φ′(x₀) h = h;значит, приращение независимой переменной х равно её дифференциалу: dx.

Пусть переменная у является функцией переменной х, дифференцируемой в точке х₀ : y =у(x), где у(х) - функция, дифференцируемая в точке х₀ . Дифференциал функции у(х) назовем дифференциалом зависимой переменной у и обозначим через dy : dy = y′(x₀) h. Здесь h – приращение аргумента (независимой переменной) х, значит (см. выше), можно записать и dy = y′(x₀) Δх, и dy = y′(x₀) dx. Последнее равенство позволяет сформулировать следующее правило написания дифференциала: дифференциал зависимой переменной равен произведению её производной на дифференциалеё аргумента .

Пусть переменная z является функцией переменной у : z = z(у), и пусть эта функция дифференцируема в точке у₀ = y(x₀). Тогда z представляет собой сложную функцию независимой переменной х : z = z(у(х)) = F(x), В силу теоремы о производной сложной функции, F дифференцируема в точке x₀ , причем F′(x₀) = z′(y₀) y′(x₀) . Запишем дифференциал переменной z : dz = F′(x₀) dx = z′(y₀) y′(x₀) dx. Но y′(x₀) dx = dy, значит, dz = z′(x₀) dу, т.е. дифференциал dz зависимой переменной z = z(у) равен произведению её производной z′(у₀) на дифференциал dу её аргумента у. Таким образом, правило написания дифференциала, сформулированное в предыдущем абзаце, может быть применено и здесь.

Итак, если две переменные, функция и её аргумент связаны дифференцируемой зависимостью, то дифференциал функции записывается как произведение производной функции на дифференциал её аргумента - это верно и в случае, когда аргумент является независимой переменной, и в случае, когда аргумент сам представляет собой функцию от некоторой третьей переменной. Указанное свойство и называют инвариантностью формы дифференциала.

1.5. Геометрический смысл производной и дифференциала

Пусть функция f определена на интервале (a,b), а γ – ее график,т.е. кривая, уравнение которой y=f(x). Пусть f(x) непрерывна в некоторой точке и пусть h отлично от нуля и достаточно мало по модулю, так что . Точки: М₀(х₀ , у₀) , где y₀=f(x₀), и М_h (x₀+h, f(x₀+h)) лежат на графике γ (рис. 1). Прямую, проходящую через точки М₀ и М_h обозначим через Δ_h и назовем секущей; очевидно, она не параллельна оси OУ. Углом наклона α(h) секущей Δ_h к оси ОХ назовем угол между этой осью и прямой Δ_h , заключенный в интерва- ле ; он отсчитывается от оси ОХ против часовой стрелки, если α(h) > 0 , и по часовой стрелке в случае. α(h) < 0. При изменении h точка М_h перемещается вдоль графика γ, что вызывает вращение Δ_h вокруг точки М₀ и , следовательно, изменение угла α(h). Значит, α(h) можно считать функцией, определенной при h, отличных от нуля и достаточно малых по модулю, т.е. в некоторой проколотой окрестности нуля. Допустим, что существует предел этой функции при h→0, и обозначим его через α₀: α₀ α(h). Заметим: так как α(h) , то α₀ .

Определение. Прямую Δ₀, которая проходит через точку М₀ под углом наклона к оси ОХ, равным α₀ , назовем касательной к графику γ функции f в точке М₀ .

Если α₀ , касательную Δ₀ называют наклонной, если же α₀ = = , Δ₀ называют вертикальной касательной. Вертикальную прямую, проходящую через точку М₀ называют вертикальной касательной еще в двух случаях: когда α(h) = , а α(h) = , и когда α(h) = , а α(h) = . Заметим, что в этих двух случаях α(h) не существует.

Замечание 1. Касательная существует не всегда. Рассмотрим, например, функцию f(x) =|x| ; её график изображен на рис.2. Пусть х₀ =0, а М₀ –начало координат. При любом h >0 точка М_h лежит на биссектрисе первого координатного угла; значит, α(h) = при всех h >0, а тогда α(h) = . Аналогичные соображения приводят к равенству α(h) = . Так как односторонние пределы различны, α(h) не существует; поэтому не существует и касательная в точке М₀ (0,0) к изображенному на рис.2 графику._..

Замечание 2. Если касательная к графику γ функции f в точке М₀ существует, то только одна - это вытекает из единственности предела α₀ .

Замечание 3. Если касательная Δ₀ к графику γ функции f в точке М₀ существует, то при h→0 угол между прямыми Δ₀ и Δ_h, т.е. разность α(h)- α₀, стремится к нулю. Имея ввиду это обстоятельство, касательную называют предельным положением секущей при условии, что точка М_h стремится вдоль графика γ к точке М₀ .

Пусть L – некоторая прямая, не перпендикулярная оси ОХ. Тангенс угла наклона такой прямой к оси ОХ называют угловым коэффициентом прямой L. Обозначим через k(h) угловой кoэффициент секущей Δ_h. Тогда (см. рис. 1)

k(h) = tgα(h) = = . (6)

Отсюда, так как α(h) ,

α(h) = arctg . (7)

Теорема 6. (О существовании наклонной касательной к графику) Пусть функция f определена в некоторой окрeстности точки х₀ , х₀ R.Для того, чтобы существовала наклонная касательная Δ₀ к графику γ функции f в точке М₀(х₀,у₀), где у₀ =f(x₀), необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируемой в точке х₀ .

► Необходимость. Пусть касательная существует, т.е. α(h)= α₀ . Так как тангенс – непрерывная функция, из (6) получим: = tgα(h) = tg α₀., т.е. tg α₀ . Из существования производной следует дифференцируемость функции в точке х₀ .

Достаточность. Доказательство существования касательной сводится к доказательству существования предела α(h).

Пусть f дифференцируема в х₀ . Из (3) следует: = . Арктангенс – непрерывная функция, поэтому из (7) следует: α(h) = arctg = = arctg . Значит, α(h) существует и равен arctg , а прямая Δ₀ , проходящая через точку М_h под углом наклона к оси ОХ , равным. α₀ = arctg есть касательная. ◄

Замечание. Из равенства α₀ = arctg имеем: tg α_{0 =} .Таким образом, производная есть угловой коэффициент касательной к графику функции f в той точке М₀ этого графика, абсцисса которой равна х₀ – в этом состоит геометрический смысл числа .

Следствие. Если существует , то уравнение

где , есть уравнение касательной к графику функции в точке

О приращении функкции Δ f(h)= f(x₀+h) - f(x₀) можно сказать, что это есть приращение ординаты точки М_h , движущейся по графику функции. Отрезок L_hN_h на рис. 1 равен произведению катета М₀L_h на tg α₀ , т.е. он равен h = df(h). Это позволяет дать такую формулировку геометрического смысла дифференциала: геометрически df(h) есть приращение ординаты точки N_h, движущейся по касательной Δ₀ .

1.6. Односторонние производные. Бесконечные производные.

Пусть f определена на полуоткрытом промежутке

Определение1 . Если существует предел , то это число называют односторонней производной слева функции f в точке и обозначают символом

Пусть f определена на полуоткрытом промежутке