Доказательство окончено. Пусть заданы такие примитивно-рекурсивные функции gi(x1
ТЕОРЕМА 8.2
Пусть заданы такие примитивно-рекурсивные функции gi(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , k, что на всяком наборе значений переменных лишь одна из этих функций равна 0.
Кроме того, пусть заданы примитивно-рекурсивные функции hi(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , k.
Тогда функция f(x1, . . . , xn), определяемая выражением:
 |
h1(x1, . . . , xn), если g1(x1, . . . , xn)=0
f(x1 , . . . , xn) = . . .
hk(x1, . . . , xn), если gk(x1, . . . , xn)=0является примитивно-рекурсивной.
Доказательство
Очевидно, что f можно представить с помощью следующего выражения:
f(x1, . . . , xn) = 
(hi(x1, . . . , xn) 
(gi(x1, . . . , xn)).
Доказательство окончено.
Заметим, что примитивная рекурсивность функции
div(x, y) может быть установлена на основании теоремы 8.1 с помощью соотношения:
div( x, y) = 
( 
(iy - x)).
Частично-рекурсивные функции
Функция f(x1, . . . , xn+1) получается из функции g(x1, . . . , xn+1) с помощью операции минимизации, если справедливо следующее соотношение:
f(x1, ... , xn+1) = mt(g(x1, . . . , xn, t) = xn+1) (1)
Приведенная запись означает, что должны выполняться следующие два свойства:
1) f(x1, . . . , xn+1) равно наименьшему t, при котором выполняется равенство в правой части соотношения (1);
2) все значения g(x1, ... , xn, i), i 
t определены.
Нетрудно проверить, что если функция g является вычислимой, то функция f, получаемая из g с помощью операции минимизации, также оказывается вычислимой.
Действительно, для того, чтобы найти значение f(x1, . . . , xn+1), достаточно последовательно определять значения g(x1, . . . , xn, 0), . . . , g(x1, . . . , xn, i), . . . , до тех пор, пока в такой последовательности значений впервые не встретится значение, равное xn+1. При этом каждое следующее значение получаемой последовательности не вычисляется до тех пор, пока не вычислено предыдущее значение.
Тогда первое значение i, для которого g(x1, . . . , xn, i) = xn+1, берется в качестве f(x1, . . . , xn+1).
Пример. Если g(x, y) = x+y, то f(x, y) = mt(g(x, t) = y) - это следующая функция:
f(x, y) = 
.
Приведенный пример показывает, что функция f, получаемая из функции g с помощью операции минимизации, может оказаться не всюду определенной, или частичной вычислимой, функцией.
Упражнение. Показать, что если числовая функция f(x) имеет обратную функцию, то f-1(x) = mt(f(t) = x).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функции, получаемые из простейших с помощью конечного числа применений операций суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации, называются частично-рекурсивными функциями.
Все частично-рекурсивные функции являются вычислимыми, поскольку вычислимы элементарные функции и все операции, применяемые в определениях частично рекурсивных функций.
ТЕЗИС ЧЁРЧА
Частично-рекурсивные функции - это класс числовых функций, представляемых точно определенными формальными средствами.
Связь класса частично-рекурсивных функций и интуитивно вычислимых числовых функций устанавливается в форме следующего утверждения, носящего характер естественно - научной гипотезы.
Класс всех интуитивно вычислимых числовых функций
совпадает с классом частично-рекурсивных функций
Приведенное утверждение носит название тезиса Чёрча, по имени сформулировавшего этот тезис американского математика.
Данный тезис связывает интуитивное понятие вычислимости числовых функций и формальное определение частичной рекурсивности. Поэтому он является недоказуемым.
О справедливости тезиса Чёрча свидетельствуют следующие имеющиеся факты:
1)для всякой конкретной числовой функции удается построить её рекурсивное определение;
2) многочисленные попытки построить другие общие формальные определения вычислимой числовой функции всегда приводили к классам вычислимых функций, которые содержатся (в том числе совпадают) в классе частично рекурсивных функций.