Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращается в нуль в этой точке:

Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x₀

Если существует предел

, то

, где с лежит между x₀ и х.

При x→x₀ величина с также стремится к х₀; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как , то .

Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

47.

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в этой окрестности

Если существует предел

, то

Неопределенности вида 0∙∞ ; ∞-∞ ; 1^∞ ; ∞⁰ ; 0⁰ сводятся к двум основным.

Например, 0∙∞

Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х₀

48.Если для х₂>x_1,где (х₂,x₁)€[a, b] выполняется условие f(х₂)>f(x₁), то y=f(x) наз. возрастающей на [a, b]. Если для х₂>x_1,где (х₂,x₁)€[a, b] выполняется условие f(х₂)<f(x₁), то y=f(x) наз. убывающей. Необходимое условие: если дифференциал на интервале (a, b), f(x) убывает, то f’(x)≤0 для любых х€(a, b). Достаточное условие: Если f(x) диффер. на (a, b) и f’(x)<0 (f’(x)>0) для любых х€(a, b), то f(x)возрастает(убывает) на интервале (a, b).

49.точка х₀ наз. точкой максимума функции y=f(x), если сущ. такая σ-окрестность точки х_0, что для всех х≠ х₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(х₂)<f(x₀). Аналогично определяется точка минимума функции.

50.

51. всякая непрерывная на отрезке ab функция достигает своего наибольшего (M) и наименьшего (m) значения. Если наибольшее или наименьшее значение достигается во внутренних точках, то эти точки могут быть только точками экстремума.

Правило:1.Найти все критические точки функции на интервале ab. 2. Вычислить начение точки в критических точках. 3. Выислить зачение функции на концах отрезка. 4. Из всех полученных значений выбрать (M) и (m).

52. Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

53. Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Признаки точки перегиба: чтобы X₀ была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х₀.

54. Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

1) прямая х=х₀ назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х₀ |f(x)|®+¥ (вида x=b)

2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты

lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥ пределов.

разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®¥

f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)

x®¥, то

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Если эти пределы существуют, то существует и наклонная асимптота вида kx+b=y

3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

55. -обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы монотонности

-точки экстремума

-наибольшее и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.