Тригонометрическая форма числа

Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора с координатами (a; b) (рис.4).

Рисунок 9 – Радиус – вектор комплексного числа

Длина вектора , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается или r.

Для любого комплексного числа z его модуль определяется однозначно по формуле

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается

.

Очевидно, что у комплексного числа z имеется бесконечно много аргументов: если φ₀ − какой-либо аргумент числа z , то все остальные можно найти по формуле

φ = φ₀ + 2πn , n Z .

Для комплексного числа z = 0 аргумент не определяется.

Из рисунка 9 видно, что

Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Из последней системы находим:

Таким образом, аргументом отличного от нуля комплексного числа z = а + bi является любое решение системы уравнений:

Среди всех аргументов комплексного числа z всегда есть один и только один, удовлетворяющий неравенствам:

0 ≤ φ < 2π .

Это означает, что мы можем однозначно определить аргумент любого отличного от нуля комплексного числа.

Пример 4Представить в тригонометрической форме комплексное число 1– i.

Решение: a = 1, b = -1.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Умножение

Произведение комплексных чисел и находится по формуле

Таким образом, при умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Пример 5 Найти произведение комплексных чисел

Решение: Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

Тогда

Деление

Частное комплексных чисел и находится по формуле

,

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Пример 6Найти частное комплексных чисел

Решение: Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

Тогда

Возведение в степень

Для возведения комплексного числа в n-ю степень используется формула

,

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

Пример 7 Вычислите (1 + i)¹⁰⁰.

Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.

a = 1, b = 1.

,

4 Извлечение корня

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа используется формула

где - арифметический корень, .

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Пример 8Вычислить u = .

Представим число z = в тригонометрической форме:

,

Поэтому согласно общей формуле Муавра

,

где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Таким образом, значения корней:

,

,