Графики обратных тригонометрических функций

Построим график арксинуса

Построим график арккосинуса

Построим график арктангенса

Всего лишь перевернутая ветка тангенса.
Перечислим основные свойства функции :

Свойства арккотангенса вы вполне сможете сформулировать самостоятельно. Отметим, что арккотангенс, как и арккосинус, не является четной или нечетной функцией.

При исследовании функции и изучении её свойств с целью построения графика находят: область определения функции D(f и, если возможно, область изменения E(f);

1) точки разрыва функции и промежутки непрерывности;

2) точки пересечения графика с осями координат;

3) промежутки знакопостоянства функции;

4) чётность, нечётность, периодичность;

5) критические точки функции, точки экстремума, экстремумы, промежутки монотонности;

6) промежутки выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба;

7) асимптоты графика функции;

8) дополнительные точки (если это необходимо).

Строится график функции. Примеры.

Способ построения графиков функций по точкам:
	Вытекает из определения графика функции. Он является длинным и недостаточно надежным. Применяется в школьном курсе математики при первоначальном знакомстве с простейшими функциями. (На графике функция ).

Построение графиков функций на основании результатов исследования функции (без использования понятия производной)
Дана функция	преобразуем
1. Область определения
2. Область значений
3. Четность, нечетность	и Ни четная, ни нечетная
4. Монотонность	Убывает во всей области определения
5. Пересечение с осями и
6. Промежутки знакопостоянства
7. Берем дополнительные точки
По результатам исследований строим график

Да, конечно, данную кривую легко построить и поточечно, но такие параболы очень часто встречаются в практических заданиях, поэтому весьма полезно сразу представлять, как они расположены.

График функции y=Af(ax+b) может быть получен из графика функции y=f(x) с помощьюпростых геометрических преобразований. Приведем их в таблице:

y=f(x)+A	Параллельный перенос его вдоль оси OY на А единиц вверх, если А>0 и на |A| единиц вниз, если A<0/
y=f(x-a)	Параллельный перенос его вдоль оси ОY на a единиц вправо, если а>0, и на -а единиц влево, если a<0.
y=kf(x), k>0	Растяжение вдоль оси ОХ в k раз, если k>1, и сжатие в 1/k раз, если 0<k<1.
y=f(kx), k>0	Сжатие вдоль оси ОХ относительно оси OY в k раз, если k>1 и растяжение в 1/k раз, если 0<k<1.
y=-f(x)	Симметричное отображение графика относительно оси ОХ.
y=|f(x)|	Часть графика функции y=f(x), расположенная ниже оси ОХ, симметрично отражается относительно этой оси, остальная часть графика остается без изменения.
y=f(-x)	Симметричное отображение графика относительно оси ОY.
Y=f(|x|)	Часть графика функции y=f(x), расположенная в области x>0, остается без изменения, а его часть для области x <0 заменяется симметричным отображением относительно оси OY.

Пример1. Чтобы построить график функции , нужно

§ сначала построить график функции ,

§ затем одинаты всех точек графика умножить на 2,

§ затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,

§ а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Пример 2.

Построить график функции

И снова вечная картина:

Согласно правилу, при график сохраняется:

И сохранившаяся часть отображается симметрично относительно оси в левую полуплоскость:

Действительно, функция – чётная, и её график симметричен относительно оси ординат.