Графики тригонометрических функций

При рассмотрении графиков тригонометрических функций предполагается, что числовой аргумент представляет угол, измеренный в радианах.

Соответствие, при котором каждому действительному числу х сопоставляется синус этого числа, называют функцией синус и обозначают Графики тригонометрических функций - student2.ru

Свойства функции Графики тригонометрических функций - student2.ru приведены в табл. 4.

Графики тригонометрических функций - student2.ru Графиком функции Графики тригонометрических функций - student2.ru является кривая, называемая синусоидой (рис. 7).

Рис. 7

Соответствие, при котором каждому действительному числу х сопоставляется косинус этого числа, называют функцией косинус и обозначают Графики тригонометрических функций - student2.ru

Свойства функции Графики тригонометрических функций - student2.ru приведены в табл. .

Графиком функции Графики тригонометрических функций - student2.ru является кривая, называемая косинусоидой (рис. 8).

 
  Графики тригонометрических функций - student2.ru

Рис. 8

Соответствие, при котором каждому действительному числу Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru сопоставляется тангенс этого числа, называется функцией тангенс и обозначается Графики тригонометрических функций - student2.ru

Свойства функции Графики тригонометрических функций - student2.ru приведены в табл. 4.

Графиком функции Графики тригонометрических функций - student2.ru является кривая, называемая тангенсоидой (рис. 9).

Графики тригонометрических функций - student2.ru

Рис. 9

Соответствие, при котором каждому действительному числу Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru сопоставляется котангенс этого числа, называется функцией котангенс и обозначается Графики тригонометрических функций - student2.ru

Свойства функции Графики тригонометрических функций - student2.ru приведены в табл. 4.

График функции приведен на рис. 10.

Графики тригонометрических функций - student2.ru

Рис. 10

Т а б л и ц а 4

Свойства функции Функция
Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru
1. Область определения функции R R Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru
2. Область значений функции Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru R R
3. Четность / нечетность нечетная четная нечетная нечетная
4. Наименьший положительный период Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru
5. Координаты точек пересечения графика: с осью Ox; Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru
c осью Oy (0;0) (0;1) (0;0) нет
6. Промежутки возрастания функции Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru нет
7.Промежутки убывания функции Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru нет Графики тригонометрических функций - student2.ru
 
8. Экстремумы функций: точки минимума Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru нет нет
минимум функции -1 -1 нет нет
точки максимума Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru нет нет
максимум функции нет нет
9. Промежутки знакопостоянства функции: промежутки, на которых функция принимает положительные значения Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru
промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru

Пример 1.Найти область определения функции Графики тригонометрических функций - student2.ru

Решение. Должно выполняться Графики тригонометрических функций - student2.ru х Î Z, т.е.

Графики тригонометрических функций - student2.ru

Графики тригонометрических функций - student2.ru

Графики тригонометрических функций - student2.ru

Таким образом, D(у): Графики тригонометрических функций - student2.ru , Графики тригонометрических функций - student2.ru

Пример 2.Найти область значений функции Графики тригонометрических функций - student2.ru

Решение.Используя формулу двойного угла для синуса, получим Графики тригонометрических функций - student2.ru Так как функция Графики тригонометрических функций - student2.ru ограничена, то Графики тригонометрических функций - student2.ru тогда Графики тригонометрических функций - student2.ru и Графики тригонометрических функций - student2.ru Таким образом, Графики тригонометрических функций - student2.ru

Пример 3.Выяснить, является ли функция Графики тригонометрических функций - student2.ru четной или нечетной

Решение.Функцию можно исследовать на четность или нечетность, если область определения функции является симметричным относительно нуля множеством и выполняется одно из равенств. В данном случае D(у)= Графики тригонометрических функций - student2.ru - симметричное относительно нуля множество. Рассмотрим Графики тригонометрических функций - student2.ru В силу четности косинуса и нечетности синуса, получим

Графики тригонометрических функций - student2.ru

Таким образом, выполняется Графики тригонометрических функций - student2.ru Значит, данная функция является нечетной.

Пример 4.Сравнить числа Графики тригонометрических функций - student2.ru и Графики тригонометрических функций - student2.ru

Решение.Используем свойство монотонности функции Графики тригонометрических функций - student2.ru на определенных промежутках. Углы Графики тригонометрических функций - student2.ru и Графики тригонометрических функций - student2.ru принадлежат отрезку Графики тригонометрических функций - student2.ru на котором функция Графики тригонометрических функций - student2.ru убывает, и при этом Графики тригонометрических функций - student2.ru > Графики тригонометрических функций - student2.ru Используя свойство убывающей функции, по которому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, приходим к ответу: Графики тригонометрических функций - student2.ru

Пример 5.Найти наименьший положительный период функции Графики тригонометрических функций - student2.ru

Решение.Преобразуем

Графики тригонометрических функций - student2.ru

Используя формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество, получим функцию Графики тригонометрических функций - student2.ru график которой получается из графика функции Графики тригонометрических функций - student2.ru с периодом Графики тригонометрических функций - student2.ru Воспользуемся правилом нахождения периода Т' функции, полученной путем некоторых преобразований периодической функции Графики тригонометрических функций - student2.ru с периодом Графики тригонометрических функций - student2.ru : Графики тригонометрических функций - student2.ru .

Таким образом, наименьший положительный период функции Графики тригонометрических функций - student2.ru а значит и функции Графики тригонометрических функций - student2.ru равен Графики тригонометрических функций - student2.ru

Пример 6.Найти наибольшее и наименьшее значения функции Графики тригонометрических функций - student2.ru

Решение. Используем формулу приведения и формулу преобразования суммы функций в произведение: Графики тригонометрических функций - student2.ru Графики тригонометрических функций - student2.ru

Так Графики тригонометрических функций - student2.ru то Графики тригонометрических функций - student2.ru

Таким образом, Графики тригонометрических функций - student2.ru а Графики тригонометрических функций - student2.ru

Пример 7.Построить график функции Графики тригонометрических функций - student2.ru

Решение. Для построения будем использовать правила преобразования графика элементарной функции Графики тригонометрических функций - student2.ru параллельный перенос вдоль осей Ох и Оу, сжатие и растяжение графика функции.

Рассмотрим последовательность преобразований, позволяющих из графика функции Графики тригонометрических функций - student2.ru получить график функции Графики тригонометрических функций - student2.ru Для начала преобразуем данную функцию следующим образом: Графики тригонометрических функций - student2.ru

Выполним построение поэтапно.

1. График функции Графики тригонометрических функций - student2.ru может быть получен из графика Графики тригонометрических функций - student2.ru путем растяжения вдоль оси Оу в 2 раза (рис. 11).

 
  Графики тригонометрических функций - student2.ru

Рис. 11

2. График функции Графики тригонометрических функций - student2.ru может быть получен из графика функции Графики тригонометрических функций - student2.ru путем сжатия вдоль оси Ох в 2 раза (рис. 12);

Графики тригонометрических функций - student2.ru

Рис. 12

3. График функции Графики тригонометрических функций - student2.ru может быть получен из графика Графики тригонометрических функций - student2.ru путем параллельного переноса вдоль оси Ох на Графики тригонометрических функций - student2.ru единиц вправо (рис. 13);

Графики тригонометрических функций - student2.ru

Рис. 13

4. График Графики тригонометрических функций - student2.ru получаем из графика Графики тригонометрических функций - student2.ru путем параллельного переноса вдоль оси Оу на 3 единицы вверх (рис. 14).

Графики тригонометрических функций - student2.ru

Рис. 14

Наши рекомендации