Графики тригонометрических функций

Тема: «Методика изучения тригонометрических функций»

В лекции использованы материалы из лекций проф. Ананченко К.О.

§1 Содержание темы. Перечень знаний и умений по теме.

Тригонометрия — один из наиболее важных разделов курса алгебры и начал анализа.

Он включает изучениеследующих вопросов:

- введение тригонометри­ческих функций числового аргумента и их простейшие свойства;

- тригонометрические тождества;

- тригонометрические уравнения и неравенства.

Содержание темы по классам:

Класс

- Периодичность функции. Функции y=sin x, y=cos x, , их свойства и графики.

- Простейшие тригонометрические уравнения sin x=а, cos x=а, . Тригонометрические уравнения.

Тригонометрические функции – класс элементарных функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Они предоставляют удобный аппарат для решения разнообразных геометрических задач. Тригонометрические функции имеют многочисленные приложения в астрономии, геодезии, механике, электротехнике и других науках.

В результате изучения темы “ Тригонометрические функции ” учащиеся должны:

знать определения тригонометрических функций, определение периодической функции, формулировку и доказательство теоремы о периодичности тригонометрических функций, наименьший положительный период для функций синус, косинус, тангенс, котангенс;

уметь исследовать тригонометрические функции на четность и нечётность; применять свойство периодичности тригонометрических функций при вычислении их значений и построении их графиков; уметь по графику находить область определения и область значений, промежутки возрастания и убывания, нули, экстремумы данных функций.

§ 2 Определение тригонометрических функций

Пусть М-точка окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице; a- угол между осью абсцисс и радиусом ОМ, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс (рис. 18). При этом если отсчёт ведётся против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Если (Х_a ; Y_a) – координаты точки М, то тригонометрические функции синус и косинус определяются формулами :

sin a= Y_a ; cos a= Х_a

Другие тригонометрические функции определяются формулами :

Угол может измеряться как в градусах, так и в радианах и изменяться от - до + . Чаще используется радианное измерение, причём обозначение радиан опускается, и тогда тригонометрические функции считаются функциями числового аргумента.

В методической литературе предлагаются различные подходы к определению тригонометрических функций. Функции синус и косинус рассматриваются:

как отношение сторон в прямоугольном треугольнике для острых углов с последующим распространением на любые углы;

как координаты точек единичной окружности или координаты конца подвижного единичного радиуса;

как отношение координат конца подвижного радиуса некоторой окружности к длине этого радиуса;

как отношение координат конца радиуса-вектора к его длине;

как проекции единичного вектора на оси координат;

как отношения проекций вектора на векторные оси к длине указанного вектора.

Графики тригонометрических функций

В методической литературе для построения графиков тригонометрических функций рекомендуются различные подходы. Рассмотрим некоторые из них на примере функций y=sin x.

1. Сначала предлагается построить часть графика функции синус на отрезке [0:p] по точкам:

x									p
sin x

Затем воспользовавшись свойством нечётности функции синус, можно построить график функции на отрезке:[- p;0] и продолжить его периодичность на всю ось OX (рис.19)

2. Существует другой способ построения графика функции y=sin x. Строится единичная окружность и делится на 12 равных дуг, концы которых будут соответствовать значениям аргумента, указанным в таблице:

x

p

2p

sin x

-1

Дальнейшее построение графика y = sin x ясно из рассмотрения рис.

Так как наименьший положительный период синуса равен 2p, то график функции y=sin x в промежутке от -2p до 0 будет иметь такой же вид, как и в промежутке от 0 до 2p, то же верно для промежутка от 2p до 4p и т.д.

Исходя из геометрических соображений можно построить график тригонометрической функции с любой степенью точности, что зависит от числа делений, на которые делится окружность с радиусом, равным единице.

3. Для построения графика синуса проводится её исследование с помощью производной на любом отрезке длины 2p, например, на отрезке [-p;p]. Находятся производная функции синус и критические точки функции, а затем заполняется таблица:

x	-p						p
sin x	-1	-		+		-	-1
sin x			-1
			min		max

Пользуясь проведённым исследованием, строят график функции y=sin x на отрезке [-p;p], а затем на всей оси OX.

Задание для самостоятельного изучения

1) Ознакомьтесь с действующим учебным пособием “АиНА” и установите, какой способ используется при построении графика функции y=sin x.

2) Подумайте, с помощью каких преобразований из графика функции y=sin x можно получить график функции y=-2sin(x- )+1.

Для закрепления навыка построения графиков тригонометрических функций с помощью простейших преобразований графиков рекомендуется провести лабораторную работу на тему “Построение графиков тригонометрических функций”.

Вариант 1. С использованием шаблона вычертите графики: y=sin x , y=sin x -1 , y=sin(x- ) , y=sin(x+ ).

Вариант 2. С использованием шаблона вычертите графики функций : y=cos x , y=cos x+2, y=cos(x+ ) , y=cos(x- ).

§4 Свойства и график функции y = sin x

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область значений – отрезок [-1; 1].

3. Функция нечётная.

4. Функция периодическая, основной период равен 2 .

5. Функция возрастает на промежутках [ ] и убывает на промежутках [ ], k Z

6. В точках (k Z) синус имеет максимумы, равные 1; в точках - минимумы, равные –1.

График функции y = sin x изображён на рис. 21.

y     0 x 1

рис.21

§5 Свойства и график функции y = cos x.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел.

2. Область значений – отрезок [-1; 1].

3. Функция чётная.

4. Функция периодическая с основным периодом 2 .

5. Функция возрастает на промежутках [ ] и убывает на промежутках [ ], k Z

6. Косинус имеет максимумы, равные 1, в точках x = , k Z; косинус имеет минимумы, равные –1, в точках x = , k Z.

График функции y = cos x изображён на рис. 22.

y     0 x -1

§6 Свойства и график функции

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме числе вида где k Î Z.

2. Область определения – вся числовая прямая.

3. Функция нечётная.

4. π – основной период функции.

5. Функция возрастает на промежутках (-π/2 + πk, π/2 + πk), где k Î Z.

6. Функция не имеет экстремумов.

7. График функции изображён на рисунке 23.