Производные обратных тригонометрических функций

; ;

; .

Упражнения: Вычислить производные функций:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13.

11. Геометрический смысл производной функции

Рассмотрим функцию .

На графике функции возьмем фиксированную точку и произвольную точку . Проведем секущую . Если точку М неограниченно приближать к точке М₀ по графику функции , то секущая М₀М будет занимать различные положения и при совпадении точки М с точкой М₀ секущая займет предельное положение М₀Т, тогда прямая М₀Т будет касательной к графику функции в точке М₀.

Определение: Касательной к графику функции в точке М₀ называется предельное положение М₀Т секущей при стремлении точки М по графику к точке М₀ .

b - угол наклона секущей М₀М к положительному направлению оси абсцисс.

a -угол наклона касательной М₀Т к положительному направлению оси абсцисс.

- угловой коэффициент секущей М₀М.

- угловой коэффициент касательной М₀Т.

Рассмотрим прямоугольный треугольник М₀МА ( ). Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

, то есть . А, значит, .

Определим производную функции в точке х₀: .

, , следовательно, .

Вывод: Геометрический смысл производной функциисостоит в том, чтопроизводная функции при равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

Пример:

1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точках .

; ; ; ; ; .

Ответ: ; ; .

2. Найти угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

; ; ; ; .

Ответ: .

Упражнения:

1. Какой угол образует с осью Ох касательная к кривой в точке ?

2. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует угол в 135º с осью Ох.

3. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси Ох под углом ?

4. В какой точке касательная к параболе параллельна прямой ; перпендикулярна прямой ?

5. Определить, в какой точке касательная к параболе параллельна прямой .

6. Определить, в какой точке касательная к параболе перпендикулярна прямой .

12. Признаки постоянства, возрастания, убывания функции

Теорема:

1. Если функция на имеет положительную производную, то функция на этом отрезке возрастает.

2. Если функция на имеет отрицательную производную, то функция на этом отрезке убывает.

3. Если функция на имеет равную нулю производную, то функция на этом отрезке постоянна.

Пример: Определить интервалы возрастания и убывания функции .

1. Найдем область определения функции : .

2. Вычислим производную функции: .

3. Определим значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю: ; ; .

4. Определим знак производной в интервалах, на которые область определения разбивается значением аргумента , и характер монотонности функции в этих интервалах:

х
	-		+
у	↓		↑

Ответ: у - убывает; у - возрастает.

Пример: Исследовать на монотонность функцию .

1. Найдем область определения функции : .

2. Вычислим производную функции: .

3. Определим значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю: ; ; ; .

4. Определим знак производной в интервалах, на которые область определения разбивается значениями аргумента ; , и характер монотонности функции в этих интервалах:

х		- 2
	+		-		+
у	↑		↓		↑

Ответ: у - возрастает; у - убывает.

Упражнения: Исследовать на монотонность функции:

1. ; 2. ; 3.

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. .

13. Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум

Рассматривая поведение функции на интервале , обратим внимание на то, что при некоторых значениях аргумента х₁, х₂, х₃ функция принимает либо наибольшее, либо наименьшее значения по сравнению с ее значениями слева и справа от этих значений аргумента. Для пояснения этой особенности функции введем понятия максимума и минимума функции.

Определение: Значение аргумента х₀ называется точкой максимума функции , если для всех значений аргумента х в окрестности х₀ выполняется неравенство . Рис. 1.

Определение: Значение аргумента х₀ называется точкой минимума функции , если для всех значений аргумента х в окрестности х₀ выполняется неравенство . Рис. 2.

Рис. 1. Рис. 2.

Замечание: Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (extremum – крайний), а значения функции в этих точках – экстремальными (максимальными и минимальными).

Установим необходимое условие существования экстремума.

Теорема Ферма: Если внутренняя точка х₀ из области определения непрерывной функции является точкой экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю.

Замечание: Однако равенство нулю производной функции в точке х₀ еще не дает права утверждать, что х₀ –точка экстремума функции.

Пример:

1. Функция имеет производную , которая обращается в нуль при х = 0. Но в этой точке функция (кубическая парабола) экстремума не имеет.
2. Функция имеет производную , которая обращается в нуль при х = 0. В этой точке функция (парабола) имеет минимум.

Определение: Значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Чтобы определить, имеет ли функция экстремум в данной точке, необходимо воспользоваться достаточными условиями существования экстремума.

Теорема: Значение аргумента х₀ является точкой экстремума функции , если производная , равная нулю в точке х₀, при переходе через х₀ меняет знак. При перемене знака с «+» на «–» точка х₀ является точкой максимума. При перемене знака с «–» на «+» точка х₀ является точкой минимума. Если же производная при переходе через х₀ не меняет знака, то х₀ не является точкой экстремума.

План исследования функции на монотонность и существование точек экстремума

1. Найти область определения функции.

2. Вычислить производную функции.

3. Найти критические точки функции, приравняв производную функции к нулю и решив полученное уравнение.

4. Определить знак производной функции слева и справа от критических точек.

5. Определить характер монотонности функции в полученных интервалах области определения функции и экстремумы функции, если они есть.

6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример: Исследовать на экстремум функцию .

1. Найдем область определения функции : .

2. Вычислим производную функции: .

3. Найдем критические точки функции, то есть значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю: ; ; ; ; .

4. Определим знак производной слева и справа от критических точек ; , и характер монотонности функции в полученных интервалах:

х
	+		-		+
у	↑	max	↓	min	↑

5. Определим точки экстремума функции и экстремальные значения функции:

.

.

Ответ: ; .

Упражнения: Исследовать на монотонность и существование точек экстремума функции:

; ; ;

; ; ;

; ;

14. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Замечание:

1. Точки максимума и минимума функции называют локальными экстремумами функции, так как речь идет об экстремальных значениях функции в окрестностях некоторых точек.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке называют глобальными экстремумами функции.

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

Теорема Вейерштрасса: Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Для случая, когда функция не только непрерывна на отрезке , но имеет на этом отрезке конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции . Предположим, сначала, что не имеет на отрезке критических точек. Тогда она возрастает (Рис.1.) или убывает (Рис.2.) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - это значения в концах a и b.

Рис.1. Рис. 2.

Пусть теперь функция имеет на отрезке конечное числокритических точек. Эти точки разбивают отрезок на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции на таких отрезках принимаются в их концах, то есть в критических точках функции или в точках а и b.

Вывод: Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

1) .

2) ; ; ; ;

- критическая точка, ;

- критическая точка, .

3) ;

;

.

4) ; .

Ответ: ; .

Упражнения:

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Изложенный метод поиска наибольшего и наименьшего значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:

1. Этап формализации: Задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирается удобный параметр х, через который исследуемая величина выражается как функция .

2. Этап решения математической задачи: Средствами математического анализа находится наибольшее или наименьшее значение функции на некотором промежутке.

3. Этап интерпретации найденного решения: Найденное решение «переводится» с языка математики в терминах первоначальной задачи.

Пример: Из квадратного листа жести со стороной «а» надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным?

Решение:

х – длина стороны основания коробки;

– длина стороны вырезанного квадратика;

– объем коробки

По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству , то есть .

Таким образом, данная прикладная задача сведена к математической задаче:

найти наибольшее значение функции на интервале .

;

; ; ; х = 0; .

; ; .

.

Функция достигает своего наибольшего значения внутри отрезка , следовательно, и внутри интервала .

Так как х – длина стороны основания коробки, имеющей при заданных условиях максимально возможный объем, то максимальный объем, равный , имеет коробка со стороной основания .

Ответ: .

Пример: Число 36 разделить на такие две части, произведение которых давало бы наибольшее значение.

Решение:

х - первая часть числа 36; - вторая часть числа 36;

, .

; ; ; ;

; . Функция на интервале принимает положительные значения, следовательно, наибольшее значение функция принимает при .

. Число 36 надо разделить на две равные части, произведение которых даст наибольшее значение.

.

Ответ: .

Упражнения: