Лекція5: Інтерполяційний многочлен Лангранжа

1. Постановка задачі інтерполювання

2. Суть лінійного інтерполювання

3. Інтерполяційний многочлен Лангранжа

Загальна постановка задачі інтерполювання (інтерполяція – знаходження по ряду значень функції проміжних її значень) полягає у наступному: нехай на відрізку [a;b] в n+1 даних точках x ,x ,…,x відомі значення деякої функції f(x) :

y =f(x ), y =f(x ), …, y =f(x ).

Треба визначити значення функції f(x) в точці хЄ[a;b], що не збігається з даною.

Звичайно, з такою постановкою задачі розв’язок задачі невизначено. Більш конкретно задача інтерполювання функції f(x) полягає в тому, щоб побудувати функцію F(x), що належить певному класу функцій і та що в даних точках х набуває тих же значень y =f(x ), що і функція f(x): F(x )=y (i=0,1,…,n).

Тоді для х Є[a;b] наближено покладають f(x)=F(x).

Точки x ,x ,…,x називають вузлами (чи полюсами ) інтерполяції, а функцію F(x) – інтерполяційною функцією.

Звичайно інтерполяційну функцію шукають серед многочленів P (x), степінь яких не перевищує n і які задовольняють умові P (x )=y =f(x ), P (x )=y =f(x ),...,P (x )=y =f(x ). (1)

Неважко показати, що існує тільки один многочлен P (x) степені не вище n, що задовольняє всі умови (1).

Задача алгебраїчного (параболічного) інтерполювання функції y=f(x) на [a;b] полягає у відшуканні аналітичного вираження многочлена P (x), що задовольняє умові (1).

Многочлен P (x), визначений по умові (1), називається інтерполяційним многочленом для f(x), а формули для її побудови – інтерполяційними формулами.

Заміна функції y=f(x) її інтерполяційним многочленом f(x)=P (x), хЄ[a;b] називається інтерполюванням (алгебраїчним) функції.

Звичайно, при цьому виникає питання про оцінку похибки наближеної формули (2).

Геометричний змістінтерполювання – заміна кривої y=f(x) параболою y=P (x) (порядка n), що проходить через задані точки (x ;y ), (х1;у1),...,(х_n;y_n).

Формулу (2) вважають інтерполяційною, якщо хЄ[x ;x ], тобто знаходиться між вузлами інтерполяції, якщо ж х [x ;x ], тобто знаходиться зовні відрізка, то формулу (2) називають екстраполяцією. В дальнішому ця відміність не враховується.

Лінійне інтерполювання полягає в заміні даної функції y=f(x) між любими двома вузлами інтерполяції х₀, х₁ лінійної функції визначеної з рівності

= .

Геометрично це означає заміну дуги кривої y=f(x) між точками М₀(х₀;у₀) і М₁(х₁;у₁) хордою М₀М₁ (рис.)

Якщо позначити х₁-х₀=h – крок інтерполяції, а у₁-у₀= у₀, то формулу (3) можна записати у вигляді у=у₀+ (х-х₀) (4)

Лінійним інтерполюванням зазвичай користуються для визначення значення таблично заданої функції в точках, що не входять в таблицю. Крок h – це різниця між двома сусідніми табличними значеннями аргумента, в якості у₀ брати ті значення, які відповідають меншому значенню аргумента.

ПРИКЛАД: Чотирьохзначні таблиці тригонометричних функцій складені для значення аргумента з кроком h=1⁰. Обчислити з допомогою цих таблтць sin 35⁰50^’.

РОЗВ`ЯЗАННЯ: Значення аргумента х=35⁰50^’=35,833⁰ заключено в таблиці між 35⁰ і 36⁰. Для розглядуваного участка таблиці h=36⁰-35⁰=1⁰, х-х₀=0,833⁰, у₀=0,588-0,574=0,014. Підставивши всі ці дані в (4), одержимо

sin 35⁰50^’ 0,574+0,833*0,014=0,586.

Із теорії чисельних методів відомо, що похибка лінійної інтерполяції R₁(x)=f(x)-(у₀+ (х-х₀)) для два рази диференційованої функції f(x) оцінюється по формулі , (5) де M₂=max , x₀<x<x₁. Лінійна інтерполяція дає стільки же правильних цифр, скільки їх в табличних значеннях функції, коли похибка інтерполяції не перевищує половини одиниці молодшого розряду табличних значень функції. Якщо таблиця складена, наприклад, з трьома правильними знаками, то для виконання лінійної інтерполяції повинна мати місце умова <0,5*10^-3. В розглянутому прикладі f(x)=sin(x), тоді = і М₂=1, h²=0,017²=0,0003 і по формулі (5) <0,00004=0,4*10^-4<0,5*10^-3. Умова виконана, відповідно, результат округлений до правильних цифр.