Задачи для самостоятельного решения. 2.2.1.Разделите многочлен р(z) на многочлен q(z):

2.2.1.Разделите многочлен р(z) на многочлен q(z):

а) р(z) = , q(z)= ;

б) р(х) = , q(x)= .

2.2.2.Найдите все корни многочлена z⁵ – 2z⁴ – 6z³ – 6z² – 7z – 4.

2.2.3.Разложите на неприводимые множители на множестве действительных чисел многочлены:

а) ,

б) .

Тест для самоконтроля

по теме «Многочлены»

1. Для многочлена сумма всех действительных корней равна …

а) –7; б) –8; в) –6; г) 7.

2. Дан многочлен . Установите соответствие между корнями многочлена (список 1–4) и их кратностью (список а – д).

1) 2; 2) – 2; 3) 3; 4) –3;

а) 1; б) не является корнем; в) 2; г) 3; д) 4.

3. Действительными корнями многочлена являются:

а) ; б) в) ; г) .

4. Число действительных корней многочлена с учетом их кратности равно

а) 3; б) 1; в) 2; г) 5.

5. Два многочлена равны между собой тогда и только тогда, когда равны их:

а) корни; б) коэффициенты;

в) переменные; г) степени.

6. Среди многочленов равными являются (укажите набор):

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

7. При умножении многочленов и получается многочлен степени:

а) 4; б) 6; в) 9; г) 18.

8. При умножении многочленов и получается многочлен, старший коэффициент которого равен:

а) 8; б) 4; в) -12; г) -4.

9. Установите соответствие между операцией над многочленами (список 1–3) и ее результатом (список а–е):

1) ;

2) ;

3) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

10. При делении многочлена на двучлен в остатке получится

а) 0; б) 1; в) ; г) .

11. Частное от деления многочлена на многочлен равно:

а) ; б) ; в) ; г) .

12. Остаток от деления многочлена на многочлен равен:

а) 0; б) 7; в) ; г) .

13. Пусть . Установите соответствие между многочленами (список 1–4) и их названиями (а–е) то многочлен называется … от деления многочлена на многочлен.

1. ; 2) ; 3) ; 4) ;

а) частное; б) делитель; в) числитель;

г) остаток; д) делимое; е) знаменатель.

14. Число а является корнем многочлена тогда и только тогда, когда (выберите верные ответы):

а) выполняется условие ;

б) делится без остатка на ;

в) выполняется условие ;

г) делится без остатка на ;

д) делится без остатка на а.

15. Число а является k-кратным корнем многочлена тогда и только тогда, когда:

а) делится на , но не делится на ;

б) делится на , но не делится на ;

в) делится на , но не делится на и ;

г) делится на , но не делится на .

16. Корень многочлена называется простым, если его кратность равна:

а) 0; б) 1; в) 2; г) –1.

17. Если многочлен имеет целые корни, то их нужно искать среди делителей числа:

а) –6; б) 15; в) –14; г) .

Не оставляйте без внимания и приведенные ниже контрольные вопросы. Работа над ними покажет уровень усвоения вами темы «Многочлены» и послужит подготовкой к защите раздела «Комплексные числа и многочлены».

2.3. Контрольные вопросы

1. Может ли квадратное уравнение с действительными коэффициентами иметь корни 1 + i и 1-2i ? Ответ обоснуйте.

2. Многочлен z⁴ + 4z³ + 11z² + 14z + 10 разложить на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами, если известен один корень z₁ = –1 + i.

3. При каких значения А и В многочлен делится на многочлен (z – 1)² без остатка?

4. При каком значении а число z = 2i является корнем многочлена
z³ – (a + 1)z² + 4аz + 8(а² – 2)?

5. Определите a так, чтобы один из корней уравнения z³ –7z + a = 0 равнялся удвоенному другому.

6. Определите a, b, c так, чтобы они были корнями уравнения
z³– az² + bz+ c = 0.

7. Докажите, что всякий многочлен третьей степени приводим на множестве действительных чисел.

8. Докажите, что число 1 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма его коэффициентов равна 0.

9. При каком значении а Î R число является корнем многочлена z³ – (a+3)z² + 6a²z + a² – 5. Найдите остальные корни этого многочлена при найденном значении а.

13. Решите уравнение z⁸ +6z⁴ +9 = 0.

15. Производной (первого порядка) многочлена по переменной z называется многочлен вида ¢(z). Производная от многочлена называется производной второго порядка от многочлена , и т.д., производная -го порядка от многочлена определяется по правилу . Производная от многочлена нулевой степени и от нуля считается равной нулю. Докажите следующие утверждения:

а) Р^(п)(z) = п!а_п;

б) Если число a является т-кратным корнем многочлена Р(z), то это число является (т – 1)-кратным корнем первой производной этого многочлена;

в) Если число a является т-кратным корнем многочлена Р(z), то это число является (т – k)-кратным корнем k-й производной этого

многочлена (m ³ k), но не будет корнем его т-й производной.

Рациональные дроби.