Взаимное положение прямых и плоскостей

Прямая параллельная плоскости.

Если прямая АВ параллельна прямой лежащей в некоторой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Если необходимо через заданную точку провести прямую параллельную заданной плоскости необходимо провести в этой плоскости прямую, а затем параллельно ей через заданную точку проводят искомую прямую.

Например, плоскость задана отсеком АВС и надо провести параллельную плоскости прямую через точку К.

Проведем горизонтальную проекцию произвольной прямой 11 - 22, затем

построим фронтальную проекцию 12 - 22. Через проекции токи К проводим линии параллельные соответствующим проекциям прямой 1 - 2.

В2

1 2

К2

22 ·

А2 С2

11

А1 С1

·

К1

Параллельные плоскости.

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Поэтому, если требуется через точкуDпровести плоскость параллельную заданной АВС, то через точку проводят две прямые, параллельные любым прямым, находящимся в заданной плоскости.

В2

D2 ·

А2

С2

С 1

D1·

А1

В1

Пересекающиеся плоскости.

Если плоскости не параллельны, то они обязательно пересекутся.

Если плоскости занимают частное положение в пространстве, то положение линии пересечения определить довольно просто.

Например, подумайте какое положение в пространстве займет линия пересечения двух горизонтально проецирующих плоскостей ?

S

T

Õ 1

Рассмотрим случай когда плоскость общего положения пересекается с плоскостью параллельной плоскости П1, т.е. с горизонтальной плоскостью.

Априори можно утверждать, что линия пересечения будет горизонтальной прямой. Действительно, линия пересечения принадлежит одновременно плоскости общего положения и горизонтальной плоскости, а все линии принадлежащие горизонтальной плоскости являются горизонталями.

Аналогичные рассуждения можно привести рассматривая пересечение плоскости общего положения и фронтальной плоскости. Линия пересечения будет фронталью. Запомним это.

А теперь рассмотрим наиболее сложный случай пересечения двух плоскостей общего положения.

В2 D2

T 2 12 22 72 32 E2

А2 42 82 52 62 å2

C2

F2

A1 1 1 F 1 6 1

В1 5 1 E1

41

21 8 1 3 1

D1

C1 71

Плоскости общего положения заданные треугольниками АВС и DFE.

Задача решается с помощью двух вспомогательных горизонтальных плоскостей Т и å. Эти плоскости пересекут заданные по горизонталям 1и 2,

3 и Е ; А и 4, 5 и 6. Фронтальные проекции горизонталей очевидны. Найдем горизонтальные проекции этих горизонталей на чертеже при помощи линий проекционной связи.

Продлевая горизонтальные проекции линий пересечения можно найти где они пересекаются между собой - это точки 7 1 и 8 1. Каждая из этих точек принадлежит трем плоскостям одновременно. Точка 7 принадлежит плоскостям Т, АВС, DFE , а точка 8 плоскостям å, АВС, DFE. Через точки 7 и 8 можно провести линию пересечения плоскостей АВС и DFE .Построение начинаем с горизонтальной проекции соединяя точки 71 и 81, а затем с помощью линий проекционной связи находим фронтальную проекцию 72, 82.

При решении подобных задач можно в качестве вспомогательных применять плоскости фронтальные и фронтально или горизонтально проецирующие.