Линейная алгебра

Тренировочные задачи и упражнения

Специальность ИВТ

Дисциплина алгебра и геометрия

Семестр

2012-2013

Модуль 1

Линейная алгебра.

1.1. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

Решение. 2А = , 2А + В = .

1.2. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.

Решение. A^T = ;

A^TB = × = = ; aC = ;

А^ТВ+aС = + = .

1.3 Вычислить определитель матрицы А =

Решение:

= -5 + 18 + 6 = 19.(раскладывали по 1 строке.)

1.4. Найти значение матричного многочлена если .

Решение.

.

1.5. Определить ранг матрицы .

Решение:

~1 стр.+3 стр ~ ~ 1стр.-2стр*4~ ~1стр-2стр, нулевую отбрасываем~ , rang (А) = 2.

1.6 Определить след, норму матрицы .

Решение:

(сумма диагональных элементов)

1.7 Решить систему уравнений матричным методом:

Решение:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

А₁₁ = = -5; А₂₁ = - = -1; А₃₁ = = -1;

А₁₂ = - А₂₂ = А₃₂ = -

А₁₃ = А₂₃ = - А₃₃ =

A^-1 = ;

Сделаем проверку:

A×A^-1 = =E.

Находим матрицу Х.

Х = = А^-1В = × = .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

1.8. Найти число обусловленности матрицы A =

Решение.

Ранее нашли. A^-1 = ;

;

1.9 Найти решение системы уравнений Методом Крамера:

Решение:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

Dx = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x = Dx/D = 1;

Dy = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

y = Dy/D = 2;

Dz = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

z = Dz/D = 3.

1.10 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и преобразуем при помощи элементарных преобразований.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

1.11. Найти собственные числа и собственные векторы оператора, заданного матрицей .

Решение.

Составим характеристическое уравнение имеет вид , получаем - собственные числа.

Решая для каждого собственного числа систему находим соответствующие им собственные векторы , .

1.12.. Найдите собственные числа и собственные векторы оператора, заданного матрицей .

Решение.

Составляем характеристическую матрицу :

Решаем характеристическое уравнение .

Подбором находим один из корней -1.

Так как число -1 является корнем многочлена , то многочлен делится на разность , то есть , где - многочлен. Выделим в характеристическом многочлене множитель :

Находим корни трехчлена . Они равны -1 и 3. Таким образом,

- корень кратности 2 , - простой корень. Итак, собственные числа матрицы равны , . Найдем соответствующие им собственные векторы.

Пусть , тогда для собственного вектора X получаем матричное уравнение ,

что соответствует системе уравнений

Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу системы

.

Первую строку, умноженную на числа -2 и -3 прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

.

Меняем местами вторую и третью строки

.

Возвращаемся к системе уравнений .

Ранг матрицы равен 2. Число уравнений равно 2 (число линейно независимых строк), а число неизвестных 3. Поэтому фундаментальная система содержит только одно (3-2=1) решение. Переменные оставляем в левой части, а переменную переносим в правую часть

.

Полагаем , находим . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор .

Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение

,

что соответствует системе уравнений

.

Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу

Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

Вторую строку умножаем на -1 и прибавляем к третьей

Возвращаемся к системе уравнений

Ранг матрицы равен 2. Число уравнений равно 2 (число линейно независимых строк), а число неизвестных 3. Поэтому фундаментальная система содержит только одно (3-2=1) решение. Переменные оставляем в левой части, а переменную переносим в правую часть

.

Полагаем , находим . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор .

. Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу соответствует собственный вектор .

1.13. Найти фундаментальную систему решений

Решение.

1. В системе выражаем r – базисных переменных (с отличным от нуля базисным минором) через свободные.

~

r(A) = r = 2

n = 4 k = n – r = 2

Фундаментальная система решений имеет k = 2

- базисные

- свободные

2. Поочередно заменяем n – r свободных переменных строками единичной матрицы .

1)

2)

фундаментальная система решений

Общее решение

.