Логарифмическое дифференцирование

Дифференцирование функций, заданных неявно

Функции, которые рассматривались выше, были представлены в виде , т.е. переменная y выражалась через переменную x.

Если функция задана уравнением , разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде (явная функция). Например, , задает две функции .

Во многих задачах приходиться сталкиваться с ситуацией, когда переменную y невозможно выразить через x. Например, . В этих случаях функция записывается в виде , и говорят, что она задана неявно.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения , не разрешенного относительно y.

Чтобы найти производную функции, которая задана уравнением (задана неявно), достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию x, и полученное затем уравнение разрешить относительно .

Производная неявной функции выражается через аргумент x и функцию y.

Пример 16.4. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части данного уравнения, считая y функцией от x. Получаем

;

;

Отсюда находим

. ,

Чтобы найти производную функции, заданную уравнением , где y – функция независимой переменной x, то можно воспользоваться следующей формулой:

.

Пример 16.4 (2). Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Находим и .

; .

Затем находим

.

,

Пример 16.5. Найти значение производной функции в точке , если

.

Решение. Дифференцируем обе части данного уравнения, считая y функцией от x. Получаем

;

;

.

Отсюда находим

.

Далее

. ,

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пусть – некоторая функция. Прологарифмируем обе части равенства, получаем

и вычисляем ее производную

.

Отсюда находим искомую производную:

.

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемые степенно-показательная функция , где и – заданные дифференцируемые функции от x. Найдем производную этой функции

;

;

,

т.е.

. (16.5.)

Запоминать эту формулу не стоит, гораздо полезней и проще усвоить схему вычисления логарифмической производной.

Пример 16.6. Найти производную функции:

.

Решение. Логарифмируем данную функцию, получаем

.

Дифференцируем обе части последнего равенства по x:

.

Отсюда

. ,

Пример 16.7. Найти производную функции:

.

Решение. Можно найти с помощью правил и формул дифференцирования. Од-нако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирова-ние. Логарифмируем данную функцию, получаем

.

Дифференцируем обе части последнего равенства по x:

.

Выражаем , получаем:

. ,

16.7. Дифференцирование функций,

Заданных параметрически

Кроме того, что функция может быть задана в явном или неявном виде, есть функции, которые можно задать параметрически.

Если зависимость между аргументом x и функцией y задана в виде уравнений

,

где t – вспомогательная переменная, называемая параметром, то говорят, что «функция задана параметрически».

Например, задает линейную функцию , которую можно получить, если из первого уравнения выразить t и подставить во второе.

Теорема 16.5. Пусть функция задана параметрически

,

и функции дифференцируемы в области определения переменной t, тогда

. (16.6.)

Доказательство. Так как задана параметрически, то из первого уравне-ния следует , из второго уравнения следует – сложная функция с промежуточным аргументом t. Тогда по теореме о производной сложной функции и по теореме о производной обратной функции . Отсюда следует, что

. ,

Пример 16.8. Пусть . Найти .

Решение. Имеем .

Следовательно, .

,

В этом можно убедиться, если найти непосредственно зависимость y от x. Действительно, . Тогда . Отсюда , т.е. .

Пример 16.9. Пусть . Найти в точке .

Решение. Используя формулу (16.6.), находим

.

Далее получаем

. ,