Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование -в некоторых случаях целесообразнее функцию сначала прологарифмировать, а результат продифференцировать.

Однако производные степенных функций находят только логарифмическим дифференцированием.

Производная степенно-показательной функции равна сумме производно показательной функции, при условии U=const, и производной степенной функции, при условии V=const.

Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞, который основан на применении производных.

Правило Лопиталя, при 0 / 0.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ и обращается в нуль в этой точке: .

Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x₀

Если существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [x₀;x], лежащего в окрестности точки x₀ , тогда

, где с лежит между x₀ и х.

При x→x₀ величина с также стремится к х₀; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как , то .

Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ (кроме точки x₀), в этой окрестности

Если существует предел

, то

Неопределенности вида 0∙∞ ; ∞-∞ ; 1^∞ ; ∞⁰ ; 0⁰ сводятся к двум основным.

Например, 0∙∞

Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х₀

Дифференциалы высших порядков.

Пусть y=f(x) дифференцируема функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда дифференциал dy=f ′(x)dx есть также функция х, можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала есть второй дифференциал.

Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Дифференциал n-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Исследование условий и построение графиков.

- найти область определения функции

- найти точки пересечения графика с осями координат

- найти интервалы знака постоянства

- исследовать на четность, нечетность

- найти асимптоты графика функции

- найти интервалы монотонности функции

- найти экстремумы функции

- найти интервалы выпуклости и точки перегиба