Понятие функции. Основные свойства функций

Определение

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение.

Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная p.

Определение

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Определение

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Например, при равномерном движении S = vt, где путь S и время t – переменные величины, а v – параметр.

Определение

Если каждому элементу x множества Xставится в соответствие вполне определенный элемент y множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция.

При этом x называется независимой переменной (или аргументом), y –зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.

Множество Xназывается областью определения (или существования) функции, а множество Y – областью значений функции. Если множество X специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной x, т.е. множество таких значений x, при которых функция y=f(x) вообще имеет смысл.

Например, область определения функции есть полуинтервал , так как ; если же переменная x обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии областью определения функции будет отрезок .

Способы задания функций

Задать функцию – значит указать закон, по которому, согласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие значение функции из области значений функций. Существует три основных способа задания функций: табличный, аналитический и графический.

Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции , например таблица логарифмов. Табличный способ имеет широкое применение в различных отраслях знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т.п.

Аналитический способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формул.Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция ,рассматриваемая выше, задана аналитически. Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция

имеет два аналитических выражения, используемых при различных значениях аргумента.

Графический способ состоит в том, что соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика. Этот способ обычно используется в экспериментальных измерениях и употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т.д.).

Основные свойства функции

1. Четность и нечетность.

Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

Например, функция является четной, а функция – нечетной. Функция является функцией общего вида, так как и и .

Графикчетной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность.

Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть и . Тогда функция возрастает на промежутке X, если и убывает, если .

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Так, например, функция при убывает и при – возрастает.

3. Ограниченность.

Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M>0, что для любого .

Например, функция ограничена на всей числовой оси, так как для любого .

4. Периодичность.

Функция называется периодической с периодом , если для любых x из области определения функции .

Например, функция имеет период , так как для любых .