Операции на множествах

Объединениемили суммой множеств A и B называется множество A È B = A + B = {x: x Î A или x ÎB}.

Пересечениемили произведением множеств A и B называется множество A Ç B = A·B = AB = {x: x Î A и x Î B}.

Имеют место законы идемпотентности: A È A = A, A Ç A = A.

Разностьюмножеств B и A называется множество B\A = = B – A ={x: xÎ B и x Ï A}. Если A Ì B, то разность множеств B\A называется дополнениеммножества A до множества B.

Для изображения операций на множествах используют диаграммы Венна или круги Эйлера, которыми пользовался еще Аристотель (рис. 1).

Над множествами вводятся «внешние» операции, результатами которых могут быть не только новые множества, но и новые математические объекты.

A È B

A Ç B

B\A

Рис. 1.

Если каждому элементу x ÎХ по какому то правилу f поставлен в соответствие элемент у ÎY,то говорят, что задано отображение множества Х в множество Y.

В случае, когда множества Х и Y нечисловые, отображение называется оператором; отображение нечислового множества Х в числовое множество Y – функционалом; отображение числового множества Х в числовое множество Y – функцией.

Пусть D – произвольное множество действительных чисел. Если каждому числу x Î D поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число f(х), то говорят, что на множестве D определена числовая функция f. Множество D называется областью определения, а множество

E = { у ÎR | у= f (х), x Î D }

– множеством значений числовой функции f. Символически функция записывается в виде

f: D ® E или у = f (х).