Теоремы о счётных множествах

Теорема 1. Любое подмножество счётного множества теоремы о счётных множествах - student2.ru конечно или счётно. теоремы о счётных множествах - student2.ru Так как множество теоремы о счётных множествах - student2.ru счётно, то теоремы о счётных множествах - student2.ru . Рассмотрим множество теоремы о счётных множествах - student2.ru . Тогда некоторые из теоремы о счётных множествах - student2.ru , то есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . Очевидно, это множество конечно или счётно. ■

Теорема 2 (О минимальности счётного множества). Из любого бесконечного множества теоремы о счётных множествах - student2.ru можно выделить счётное подмножество теоремы о счётных множествах - student2.ru так, что множество теоремы о счётных множествах - student2.ru останется бесконечным. теоремы о счётных множествах - student2.ru . Так как множество теоремы о счётных множествах - student2.ru бесконечно, то теоремы о счётных множествах - student2.ru и этот процесс не окончится. Таким образом, мы получим счётное множество теоремы о счётных множествах - student2.ru и, по крайней мере, счётное множество теоремы о счётных множествах - student2.ru .■

Теорема 3 (Об идемпотентности). Объединение 1)конечного числа конечных множеств конечно, 2)счётного числа конечных множеств счётно, 3)конечного числа счётных множеств счётно, 4)счётного числа счётных множеств счётно.

■. Доказательство заключается в указании процедуры пересчёта.

1) выписываем все элементы первого множества, потом все элементы второго, не совпадающие с элементами первого и так далее. 2) теоремы о счётных множествах - student2.ru Множество теоремы о счётных множествах - student2.ru строим пересчётом например, по следующей схеме: теоремы о счётных множествах - student2.ru , выбрасывая совпадающие элементы.

3) теоремы о счётных множествах - student2.ru Пересчёт

проводим, например, по следующей схеме: теоремы о счётных множествах - student2.ru

4) теоремы о счётных множествах - student2.ru . Множество теоремы о счётных множествах - student2.ru строим пересчётом, например, по следующей схеме: теоремы о счётных множествах - student2.ru , выбрасывая совпадающие элементы. ■

Комментарий. Точно таким же способом пересчёта можно показать счётность множества рациональных чисел, расположив их в виде бесконечной матрицы, выбрасывая совпадающие элементы: теоремы о счётных множествах - student2.ru

НЕСЧЁТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Я возражаю... против употребления актуально

бесконечной величины как чего-либо завершенного,

что никогда не позволительно в математике...

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

Комментарий. Предыдущие теоремы доказывались установлением биекции между элементами данного множества и элементами множества натуральных чисел. Множество точек отрезка [0, 1] эквивалентно множеству точек отрезка [2,4]; взаимно однозначное соответствие осуществляет, например, функция теоремы о счётных множествах - student2.ru . Легко установить биекцию между отрезком теоремы о счётных множествах - student2.ru и всей числовой осью. Это можно сделать, например, в два этапа. Во-первых, с помощью функции теоремы о счётных множествах - student2.ru устанавливаем биекцию между интервалом теоремы о счётных множествах - student2.ru и всей числовой осью. Во-вторых, выделим на интервале теоремы о счётных множествах - student2.ru какую-нибудь последовательность попарно различных точек, например теоремы о счётных множествах - student2.ru . Точке 0 сопоставим точку теоремы о счётных множествах - student2.ru , а точке 1 сопоставим точку теоремы о счётных множествах - student2.ru . Теперь последовательности теоремы о счётных множествах - student2.ru биективно сопоставляется последовательность теоремы о счётных множествах - student2.ru , а остальные точки отрезка теоремы о счётных множествах - student2.ru и интервала теоремы о счётных множествах - student2.ru соответствуют сами себе. Правило такого сопоставления называется “отелем Гильберта”:

Отель Гильберта.Допустим, что в отеле с бесконечным числом комнат все комнаты заняты и теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru список всех постояльцев отеля, где теоремы о счётных множествах - student2.ru с первым индексом теоремы о счётных множествах - student2.ru имя жильца, а второй индекс теоремы о счётных множествах - student2.ru номер комнаты. Пусть теперь прибывает новый гость, скажем, теоремы о счётных множествах - student2.ru . В таком случае метрдотель переселяет постояльца из комнаты 1 в комнату 2, из комнаты 2 - в комнату 3, и т.д. Таким образом метрдотель освобождает комнату 1, поселяет в эту комнату вновь прибывшего гостя и получает новый список всех постояльцев: теоремы о счётных множествах - student2.ru .

Эту биекцию можно провести иначе. Пусть теоремы о счётных множествах - student2.ru – это множество точек интервала теоремы о счётных множествах - student2.ru , согнутого в виде полуокружности, а теоремы о счётных множествах - student2.ru – это множество точек числовой оси. Тогда между элементами этих множеств легко установить биекцию. Точка теоремы о счётных множествах - student2.ru –есть пересечение прямой теоремы о счётных множествах - student2.ru с числовой осью. И, наоборот, взяв любую точку теоремы о счётных множествах - student2.ru из теоремы о счётных множествах - student2.ru и, проведя ту самую прямую теоремы о счётных множествах - student2.ru , мы получим ту единственную точку теоремы о счётных множествах - student2.ru , которая поставлена в соответствие с теоремы о счётных множествах - student2.ru .

0 1 А

теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru

теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru

Таким образом, на любом конечном отрезке и на бесконечной прямой, грубо говоря, “одинаковое число точек”. Более того теоремы о счётных множествах - student2.ru можно показать, что на любом конечном отрезке и в любом конечномерном пространстве любой размерности тоже “одинаковое число точек”. Проецирование с центром в точке S устанавливает биекцию между точками теоремы о счётных множествах - student2.ru сферы и теоремы о счётных множествах - student2.ru плоскости.

a
теоремы о счётных множествах - student2.ru
М
S
A
B

Это, кстати, подвергает сомнению понимание размерности пространства, как минимальное число параметров, необходимых для описания положения точки в пространстве. Действительно, рассмотрим точку, принадлежащую единичному квадрату с координатами x=0,a1a2a3… и y=0,b1b2b3… в виде десятичных дробей. Здесь ai и bi — цифры в десятичной записи дробей. Сопоставим этой точке точку единичного отрезка с координатой z=0,a1b1a2b2a3b3…(кодировка Кантора).

теоремы о счётных множествах - student2.ru

Ясно, что разным точкам единичного квадрата таким отображением сопоставляются разные точки отрезка. При очевидных уточнениях получаем взаимно однозначное отображение квадрата в отрезок. Совершенно аналогично получается взаимно однозначное отображение теоремы о счётных множествах - student2.ru -мерного куба в отрезок. Заметим, что существует непрерывное отображение отрезка в квадрат, которое проходит через любую точку квадрата. Оно называется кривой Пеано. Но “количество точек” на отрезке теоремы о счётных множествах - student2.ru не является счётным.

Разумеемся, прямая не состоит из точек, а плоскость из прямых. Речь идёт о размещении точек на прямой, как воробьёв на ветке. Поэтому выражение “количество точек” на отрезке теоремы о счётных множествах - student2.ru это эвфемизм, который следует понимать, как количество точек, которые можно поместить на отрезке.

Теорема (Кантора о несчётности точекотрезка теоремы о счётных множествах - student2.ru ). Множество точек отрезка теоремы о счётных множествах - student2.ru не счётно. теоремы о счётных множествах - student2.ru 1. Диагональная процедура Кантора. теоремы о счётных множествах - student2.ru . Пустьмножество точек отрезка теоремы о счётных множествах - student2.ru счётно, и все они перечислены: теоремы о счётных множествах - student2.ru . Построим дробь теоремы о счётных множествах - student2.ru так, что теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru любая цифра, не содержащая теоремы о счётных множествах - student2.ru , и так далее. Так как существуют числа, которые могут записывается двояко, например теоремы о счётных множествах - student2.ru , то теоремы о счётных множествах - student2.ru не должно содержать цифр 0 и 9. Очевидно, что числа теоремы о счётных множествах - student2.ru нет в списке всех чисел теоремы о счётных множествах - student2.ru отрезка теоремы о счётных множествах - student2.ru , что противоречит условию. ■

теоремы о счётных множествах - student2.ru . 2. Метод триад Кантора. теоремы о счётных множествах - student2.ru . Занумеруем все числа отрезка теоремы о счётных множествах - student2.ru : теоремы о счётных множествах - student2.ru , а отрезок теоремы о счётных множествах - student2.ru разобьём на три части. Это равносильно записи числа в троичной системе счисления. Число теоремы о счётных множествах - student2.ru не попадёт, по крайней мере, в одну из них. Разобьём её на три части. Число теоремы о счётных множествах - student2.ru не попадёт, по крайней мере, в одну из них. И так далее. В результате получим ССС, то есть существует и единственна точка, принадлежащая всем сегментам сразу. Но её нет в списке всех чисел отрезка теоремы о счётных множествах - student2.ru по определению. ■

Комментарий. Вспомним начала анализа.

теоремы о счётных множествах - student2.ru Определение.Если в сегмент теоремы о счётных множествах - student2.ru вложены сегменты теоремы о счётных множествах - student2.ru так, что теоремы о счётных множествах - student2.ru , а теоремы о счётных множествах - student2.ru , то такая система называется СВС (системой вложенных сегментов).

Определение.Говорят, что теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru (длина сегмента теоремы о счётных множествах - student2.ru стремится к нулю, при условии, что теоремы о счётных множествах - student2.ru ), если теоремы о счётных множествах - student2.ru .

Определение.СВС, у которой теоремы о счётных множествах - student2.ru называется ССС (системой стягивающих сегментов).

Аксиома Кантора-Дедекинда. В любой СВС существует хоть одна точка, принадлежащая всем им сразу.

Так как рациональные приближения числа теоремы о счётных множествах - student2.ru можно изобразить системой стягивающихся сегментов, то действительному числу теоремы о счётных множествах - student2.ru будет соответствовать единственная точка числовой оси, если в системе стягивающих сегментов будетединственная точка, принадлежащая всем им сразу (теорема Кантора). Покажем это.

■. теоремы о счётных множествах - student2.ru . Пусть теоремы о счётных множествах - student2.ru и теоремы о счётных множествах - student2.ru две такие точки, причём теоремы о счётных множествах - student2.ru , теоремы о счётных множествах - student2.ru . теоремы о счётных множествах - student2.ru Так как, теоремы о счётных множествах - student2.ru , то теоремы о счётных множествах - student2.ru . Но, с другой стороны, теоремы о счётных множествах - student2.ru , а, т.е. начиная с некоторого номера теоремы о счётных множествах - student2.ru , теоремы о счётных множествах - student2.ru будет меньше любой константы. Это противоречие и доказывает требуемое. ■

Биекция между множеством действительных чисел и числовой осью называется полнотой действительной оси.Утверждение, что на действительной оси “нет дырок” фактически постулируется, то есть является предметом математической веры.

Определение. Мощность несчётного множества теоремы о счётных множествах - student2.ru точек отрезка теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru называетсямощностью континуума или алеф один.

Примеры. 1. Множество иррациональных чисел несчётно и имеет мощность континуума. Если бы оно было бы счётно, то объединение дух счётных множеств иррациональных и рациональных чисел было бы счётным.

2. Множество всех последовательностей нулей и единиц равномощно множеству всех подмножеств натурального ряда.

■ Сопоставим с каждой последовательностью множество номеров мест, на которых стоят единицы: например, последовательность из одних нулей соответствует пустому множеству, из одних единиц натуральному ряду, а последовательность 10101010... — множеству нечётных чисел. Это множество имеет мощность континуума, так как каждой такой последовательности можно биективно сопоставить дробь теоремы о счётных множествах - student2.ru , а это двоичное представление действительного числа. То есть множество всех подмножеств натурального ряда, то есть счётного множества, имеет мощность континуума.■

3. Множество бесконечных последовательностей цифр 0, 1, 2, 3

равномощно множеству бесконечных последовательностей цифр 0 и 1, то есть имеет мощность континуума.

■ Закодируем цифры 0, 1, 2, 3 группами 00, 01, 10, 11. Обратное преобразование разбивает последовательность нулей и единиц на пары, после чего каждая пара заменяется на цифру от 0 до 3. ■

4. Множество бесконечных последовательностей цифр
0,1,2 равномощно множеству бесконечных последовательностей цифр 0 и 1, то есть имеет мощность континуума.

■ Закодируем цифры 0, 1 и 2 последовательностями 0, 10 и 11. Теперь всякая последовательность нулей и единиц однозначно разбивается на такие блоки слева направо. ■

5. Доказать, что множество всех бесконечных последовательностей из 0,1,2, в которых 0 и 1 встречаются конечное число раз, счетно.

■ Каждой такой последовательности можно поставить в соответствие бесконечную десятичную дробь вида 0,012120... и т.п. Поскольку в такой дроби только 2 встречается бесконечное число раз, то рано или поздно 2 окажется а периоде, т.е. эта дробь - периодическая. Следовательно множество этих дробей - это множество каких-либо рациональных чисел, т.е. является подмножеством множества рациональных чисел, т.е - счетно. ■

6. Доказать, что множество точек плоскости, лежащих на графике любой функции, заданной на отрезке [0,1], имеет мощность континуума.

■ Множеству таких точек можно поставить в соответствие множество точек отрезка [0,1], которое имеет мощность континуума. ■

Комментарий. Существуют ли множества с мощностью, большей чем теоремы о счётных множествах - student2.ru ? Мы показали, что множество всех подмножеств то есть счётного множества с мощностью теоремы о счётных множествах - student2.ru имеет мощность континуума теоремы о счётных множествах - student2.ru . Можно ли построить натуральный ряд алефов?

Пример. Покажем, что множество всех действительных функций, непрерывных и нет, имеет мощность, большую, чем теоремы о счётных множествах - student2.ru .

■. теоремы о счётных множествах - student2.ru . Пусть существует биекция между точками действительной оси и всеми действительными функциями, то есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . Это фактически означает, что определено множество функций двух переменных теоремы о счётных множествах - student2.ru . Эти функции определены и при теоремы о счётных множествах - student2.ru , то есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . Рассмотрим функцию, отличную от неё, например, функцию теоремы о счётных множествах - student2.ru . В силу биекции, при каком-то теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru . Тогда теоремы о счётных множествах - student2.ru . Но теоремы о счётных множествах - student2.ru . То есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . ■

Таким образом, множества с мощностью, большей, чем теоремы о счётных множествах - student2.ru существуют. Построить их можно, воспользовавшись следующей теоремой.

Теорема 1 (Кантора о больших алефах). Каково бы ни было множество A, множество его подмножеств теоремы о счётных множествах - student2.ru имеет большую мощность, то есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . ■. Множество теоремы о счётных множествах - student2.ru эквивалентно части множества теоремы о счётных множествах - student2.ru , состоящей из одноэлементных подмножеств, то есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . Покажем, что равенство не возможно. теоремы о счётных множествах - student2.ru . Пусть существует биекция между теоремы о счётных множествах - student2.ru и подмножеством теоремы о счётных множествах - student2.ru множества теоремы о счётных множествах - student2.ru . Сам элемент теоремы о счётных множествах - student2.ru может как принадлежать теоремы о счётных множествах - student2.ru , так и нет. Организуем подмножество теоремы о счётных множествах - student2.ru тех теоремы о счётных множествах - student2.ru , для которых теоремы о счётных множествах - student2.ru , то есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . Поскольку существует биекция, то теоремы о счётных множествах - student2.ru , “представляющее” множество теоремы о счётных множествах - student2.ru , которое может как принадлежать теоремы о счётных множествах - student2.ru , так и нет. Пусть теоремы о счётных множествах - student2.ru . Но в множестве теоремы о счётных множествах - student2.ru собраны все те элементы теоремы о счётных множествах - student2.ru , которые не принадлежат своим подмножествам, то есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . Но если теоремы о счётных множествах - student2.ru , то, так как в множестве теоремы о счётных множествах - student2.ru собраны все те элементы теоремы о счётных множествах - student2.ru , которые не принадлежат своим подмножествам, то теоремы о счётных множествах - student2.ru . Таким образом, множество теоремы о счётных множествах - student2.ru не существует и биекция невозможна. ■

Комментарий. Страна состоит из округов, каждый из которых имеет депутата в парламенте. Однако он не обязан жить в своём округе. Президент выделил для депутатов, не живущих в своём округе, отдельный округ и обязал всех их переселиться туда. Очевидно, этот округ должен иметь и своего депутата. Но он не может жить ни в самой этой области, ни вне ее.

Теорема 2 (Бернштейна об эквивалентности). Пусть множество теоремы о счётных множествах - student2.ru эквивалентно некоторому подмножеству множества теоремы о счётных множествах - student2.ru , а множество теоремы о счётных множествах - student2.ru эквивалентно некоторому подмножеству множества теоремы о счётных множествах - student2.ru . Тогда бесконечные множества теоремы о счётных множествах - student2.ru и теоремы о счётных множествах - student2.ru эквивалентны, то есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . теоремы о счётных множествах - student2.ru Пусть множества теоремы о счётных множествах - student2.ru , а множества теоремы о счётных множествах - student2.ru . При этом множества теоремы о счётных множествах - student2.ru , то есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . (см. рис.) Другими словами, теоремы о счётных множествах - student2.ru и теоремы о счётных множествах - student2.ru . Теперь множество теоремы о счётных множествах - student2.ru уже не нужно и требуется доказать, что теоремы о счётных множествах - student2.ru . Пусть биекцию между множествами теоремы о счётных множествах - student2.ru и теоремы о счётных множествах - student2.ru

теоремы о счётных множествах - student2.ru

теоремы о счётных множествах - student2.ru

обеспечивает функция теоремы о счётных множествах - student2.ru . Тогда теоремы о счётных множествах - student2.ru , а теоремы о счётных множествах - student2.ru и так далее. То есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . Таким образом, функция теоремы о счётных множествах - student2.ru переводит теоремы о счётных множествах - student2.ru , теоремы о счётных множествах - student2.ru , то есть теоремы о счётных множествах - student2.ru . Фактически теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru это множество тех элементов, которые получаются из любого теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru кратным применением теоремы о счётных множествах - student2.ru , а теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru это множество тех элементов, которые получаются из любого теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru кратным применением теоремы о счётных множествах - student2.ru . Пересечение всех теоремы о счётных множествах - student2.ru может быть пусто, а может быть и нет теоремы о счётных множествах - student2.ru это все элементы, у которых сколь угодно много раз можно находить прообраз. Таким образом, множество теоремы о счётных множествах - student2.ru разбивается на непересекающиеся слои теоремы о счётных множествах - student2.ru и “ядро” теоремы о счётных множествах - student2.ru , причём слои теоремы о счётных множествах - student2.ru , слои теоремы о счётных множествах - student2.ru , а на “ядре” теоремы о счётных множествах - student2.ru функция теоремы о счётных множествах - student2.ru всё время переставляет элементы между собой. Теперь ясно, как построить биекцию теоремы о счётных множествах - student2.ru между множеством теоремы о счётных множествах - student2.ru и множеством теоремы о счётных множествах - student2.ru . Так как теоремы о счётных множествах - student2.ru , то достаточно

теоремы о счётных множествах - student2.ru

переместить с помощью функции теоремы о счётных множествах - student2.ru теоремы о счётных множествах - student2.ru на место теоремы о счётных множествах - student2.ru , теоремы о счётных множествах - student2.ru на место теоремы о счётных множествах - student2.ru и так далее. Опять работает идея “отеля Гильберта”. Теперь очевидно, что бесконечные множества теоремы о счётных множествах - student2.ru и теоремы о счётных множествах - student2.ru эквивалентны. ■

Теперь можно дать определение бесконечному множеству:

Определение (Дедекинд). Множество называют бесконечным, если оно эквивалентно хоть одному собственному подмножеству.

Комментарий. Множества можно рассматривать в двух аспектах: как неупорядоченные и как наделенные некоторым порядком их элементов. Для любых множеств определяется понятие мощности или кардинального числа множества. Для кардинальных чисел (мощностей) строится своя арифметика. Однако чтобы доказывать более тонкие теоремы для бесконечных множеств, понятия множества, лишенного всякой структуры, мало. Для того, чтобы ввести структуру на множестве, его надо арифметизировать, то есть каждому элементу сопоставить некоторую числовую характеристику. Так появляются упорядоченные множества, из которых соответственно и получается обобщение порядковых чисел — трансфинитные ординальныечисла. Каждому ординалу соответствует вполне определенный кардинал, то есть мощность любого вполне упорядоченного множества, которое представляет данный ординал. Сложнее обратное соответствие. Каждое множество определенной мощности можно вполне упорядочить многими способами (бесконечным количеством способов, если оно бесконечно). Поэтому каждому кардиналу соответствует бесконечное множество ординалов, которое Кантор называет числовым классом.

Наши рекомендации