Зачет№1 по Линейной алгебре

1) Даны матрицы ’

а) Построить матрицу С = 2А -3В+А^т +Е.

б) Найти произведение матрицы А на матрицу В.

в) Вычислить определители матрицы А и матрицы В. Убедитесь, что det(AB)=detA∙detB.

2) Найти А^-1 и сделать проверку:

a) ; б) ; в)

3) Каждую из следующих систем решить методом Крамера, Гаусса, матричным методом:

А) х + 2у + 3z = 14; б) 2x - 3y + z = 8;

2x + y – z = 1; 5x – y – z = 10;

3x + 2y + 2z = 13; x + 3y + 4z = 3.

4) Решите систему методом Гаусса:

2х₁ + х₂ – х₃ + х₄ = 1

3х₁ – 2х₂ + 2х₃ – 3х₄ = 2

5х₁ + х₂ – х₃ + 2х₄ = -1

2х₁ – х₂ + х₃ – 3х₄ = 4

5) Проверить линейную зависимость указанных векторов:

a) ; б) .

6) Доказать, что векторы образуют базис в R³ и разложить по этому базису вектор

a)

б)

6)Доказать, что векторы образуют базис в R³ и разложить по этому базису вектор

,

7)Вычислить скалярное произведение

7) Найти косинус угла между векторами и

8) Даны векторы

Найти норму вектора , если

9) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

и

10) Даны вершины пирамиды

А(-4; -1; 2), В(-1; 0; 3), С(2; 2; 5), Д(3; -2; -1). Найти площадь всех граней пирамиды.

11) Вычислить смешанное произведение векторов .

12) Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

13) Установить, компланарны ли векторы если .

Зачет №2 по Линейной алгебре.

1) Проверить линейную зависимость указанных векторов:

2) Векторы образуют базис в R³ , разложить по этому базису вектор

3) Вычислить скалярное произведение

4) Найти косинус угла между векторами и

5) Даны векторы

Найти норму вектора , если

6) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

и

7) Даны вершины пирамиды

А(-4; -1; 2), В(-1; 0; 3), С(2; 2; 5), Д(3; -2; -1). Найти площадь грани АВС пирамиды.

8) Вычислить смешанное произведение векторов .

9) Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

10) Установить, компланарны ли векторы если .

11) Даны матрицы ’

Построить матрицу С = 2А -3В+А^т +Е.

12) Найти произведение матрицы А на матрицу В и вычислить det(AB).

13) Найти А^-1 и сделать проверку:

14) Решите систему:

х + 2у + 3z = 14;

2x + y – z = 1;

3x + 2y + 2z = 13;

15) Решите систему методом Гаусса:

2х₁ + х₂ – х₃ + х₄ = 1

3х₁ – 2х₂ + 2х₃ – 3х₄ = 2

5х₁ + х₂ – х₃ + 2х₄ = -1

2х₁ – х₂ + х₃ – 3х₄ = 4

Зачет№3

Задание 1

Вариант 1. Является ли линейным пространством множество всех непрерывных функций

Y=ƒ (x), ƒ(x)>0 ?

Вариант 2. Образует ли линейное пространство множество всех непрерывных функций, заданных на [0;1] ?

Вариант 3.Образует ли линейное пространство множество всех многочленов третьей степени от переменной X, если заданные их суммы P₃+Q_{3 и} произведение на число P₃ ?

Вариант 4.Образует ли линейное пространство множество всех положительных чисел,

Если сумма чисел и произведение на число заданы обычным образом ?

Вариант 5 Образует ли множество всех векторов, лежащих на одной оси, линейное пространство, если сумма двух векторов и равно + , произведение числа не равно ?

Задание 2

Исследовать на линейную зависимость систему векторов

Вариант
	(-2,1,5)	(4,-3,0)	(0,-1,10)
	(2,0,2)	(1,-1,0)	(0,-1,-2)
	(5,4,3)	(3,3,2)	(8,1,3)
	(1,1,1)	(0,1,1)	(0,0,1)
	(1,2,3)	(4,5,6)	(2,-1,3)

Задание 3

Определить Размерность линейного пространства решений заданной системы

1. 3x₁+x₂-8x₃+2x₄+x₅=0 2. x₁+x₂-10x₃+x₄-x₅=0 3. 2x₁-x₂+2x₃-x₄+x₅=0

2x₁-2x₂-3x₃-7x₄+2x₅=0 5x₁-x₂+8x₃-2x₄+2x₅=0 x₁+10x₂-3x₃-2x₄+2x₅=0

x₁+11x₂-12x₃+34x₄-5x₅=0 3x₁-3x₂-12x₃-4x₄+4x₅=0 4x₁+19x₂-4x₃-5x₄-x₅=0

4. x₁+2x₂+x₃+4x₄+x₅=0 5. 5x₁-2x₂+3x₃-4x₄-x₅=0

2x₁-x₂+3x₃+x₄-5x₅=0 5x₁-2x₂+3x₃-4x₄-x₅=0

x₁+3x₂-x₃-6x₄-x₅=0 5x₁-2x₂+3x₃-4x₄-x₅=0

. Задание 4

Дан вектор в базисе b , найти его координаты в базисе е

Вариант1 Вариант2 Вариант3 Вариант4 Вариант5

=(6, -1, 3) =(1, 3, 6) =(-1, 7, 14) =(-3, 2, 4) =(2, 4, 3)

e₁=b₁+b₂+2b₃ e₁=b₁+b₂+4b₃ e₁=b₁+b₂+8b₃ e₁=-b₁+b₂-b₃ e₁=-b₁-b₂

e₂=2b₁-b₂ e₂=4/3b₁-b₂ e₂=8/7b₁-b₂ e₂=b₁-b₂-b₃ e₂=b₁+b₂+0,5b₃

e₃=-b₁+b₂+b₃ e₃=-b₁+b₂+b₃ e₃=-b₁+b₂+b₃ e₃=-b₁+2b₂+b₃ e₃=-b₁+b₂+b₃

Задание 5

Линейный оператор А в базисе e= e₁, e₂, e₃ имеет матрице А_е. Найдите матрицу этого оператора в базисе b= b₁, b₂, b₃ , если базисы e и b связаны заданными соотношениями.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 А_E = А_E = А_E = А_E =

Вариант 5

А_E =

b₁=e₁-e₂+e₃ b₁=2e₁+3e₂+e₃ b₁=e₁+e₂+e₃ b₁=e₁+e₂-6e₃ b₁=2e₁+3e₁+e₃

b₂=-e₁+e₂-2e₃ b₂=3e₁+4e₂+e₃ b₂=4e₂+e₃ b₂=6/7e₁-e₂ b₂=3e₁+4e₂+e₃

b₃=-e₁+2e₂+e₃ b₃=e₁+2e₂+2e₃ b₃=e₁+2e₃ b₃=-e₁+e₂+e₃ b₃=e₁+2e₂+2e₃

Задание 6

Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора А, имеющего в некотором базисе е= е₁, е₂, е₃ матрицу А_е

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 А_E = А_E = А_E = А_E =

Вариант 5

А_E =

Задание 7

Убедитесь, что в R³ векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис. С их помощью постройте ортонормированный базис е₁, е₂, е₃

Вариант 1	а1=(2,1,2)	а2=(1,0,3)	а3=(-4,1,2)
Вариант 2	а1=(-1,1,0)	а2=(0,1,1)	а3=(2,0,1)
Вариант 3	а1=(-3, , )	а2=(5,-1,1)	а3=( ,1,1)
Вариант 4	а1=(2,2,1)	а2=(3-1,1)	а3=(4,-2,3)
Вариант 5	а1=(2,4,0)	а2=(0,3,1)	а3=(-1,1,1)

Задание 8