Задания для работы в аудитории

ЗАНЯТИЕ 8

ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

План:

1. Каноническое уравнение окружности. Построение линии.
2. Каноническое уравнение эллипса. Построение линии.
3. Каноническое уравнение гиперболы. Построение линии.
4. Каноническое уравнение параболы. Построение линии.

Литература

1. Баврин, И.И.Высшая математика: учеб. для студ. естественно-научных спец. пед. вузов/ И.И. Баврин. - М.: Издательский центр «Академия»., 2004.– 616 с.
2. Гусак, А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра : справ. пособ. по решению задач /А. А. Гусак. – Мн. : «ТетраСистемс», 2001. – 288 с.
3. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособ. для вузов. В 2 ч. Ч. 1. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Мир и Образование, 2003. – 304 с.

Теоретические положения

Уравнение окружности. (x-x_о)² + (y-y₀)² = R².

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса: x²/a² + y²/a² = 1.

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы: x²/a² - y²/a² = ± 1.

Каноническое (простейшее) уравнение параболы:

1) y² = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx.

2) x² = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.

Задания для работы в аудитории

1. По заданным уравнениям определите название соответствующей линии второго порядка: а) 9х²+25у²-225=0; 2) 4х²-9у²=144; в) 6х- у²=0; г)2 х²+у=0; д) ху=4.

2. Напишите уравнение окружности радиусом 5 см с центром в точке: а) О(0;0); б) С(-1;4).

3. Постройте окружности: а) (х+3)²+(у-2)²=16; б) (х-2)²+(у+1)²=9;

в) х²+(у-4)²=25.

4. Дана окружность (х+2)²+(у+3)²=13 и точка на ней с ординатой, равной нулю. Найдите ее абсциссу.

5. Напишите уравнение окружности, проходящей через начало координат, с центром в точке А(1;0).

6. Напишите каноническое уравнение эллипса, если даны его полуоси: а) a=3 и b=4; б) a=4 и b=3. Постройте эти эллипсы.

7. Дано уравнение эллипса . Лежат ли на нем точки А(0;2), В(3;0), С(1;2)?

8. Дано уравнение эллипса . Найдите его полуоси и расстояние между фокусами. Постройте этот эллипс.

9. Дано уравнение эллипса . Найдите длины осей, координаты вершин и фокусов, вычислите эксцентриситет.

10. Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках А₁(8;0) и А₂(-8;0), а фокусы – в точках F₁(5;0) и F₂(-5;0).

11. Найдите эксцентриситет эллипса 4х²+9у²=180.

12. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если даны: а) a=6 и b=2; б) a=8 и c=10; в) с=13 и b=5. Постройте эти гиперболы.

13. Дано уравнение гиперболы . Найдите ее оси и расстояние между фокусами.

14. Дано уравнение гиперболы . Найдите длины осей, координаты вершин и фокусов, вычислите эксцентриситет. Постройте эту гиперболу.

15. Напишите уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках F₁(-4;0) и F₂(4;0), а длина действительной оси равна 6.

16. Найдите эксцентриситет гиперболы 24х²-25у²=600.

17. Напишите уравнения двух парабол с вершиной в начале координат, зная, что координаты их фокусов равны: а) F₁(3;0) ; б) F₂(-5;0). Постройте эти параболы.

18. Дано уравнение параболы у²=2х. Лежат ли на ней точки А(2;-2), В(1;2), С(0;-1)?

19. Определите координаты фокусов и напишите уравнения директрис для следующих парабол: а) у²=16х; б) х²=-10 у.

20. Напишите уравнение директрисы и найдите координаты фокуса параболы у²=4х.

21. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку А(4;-2).

22. По заданным уравнениям определите название соответствующей линии второго порядка: а) у=х²+4х+5 ; б) 9х² + 4у² - 54х - 32у + 109 =0; в) 4х² - 9у² – 8х – 36у – 68 = 0; г) у= х² – 6х + 2; д) ; ж) .

Дополнительные задачи

1. Составьте уравнение окружности, касающейся оси Ох в начале координат и проходящей через точку А(0;-8).

2. Напишите уравнение окружности, у которой центр расположен в точке С(4;2) и которая проходит через точку А(3;-2).

3. Дано уравнение эллипса и точка на нем с абсциссой, равной 3. Найдите ее ординату.

4. Найдите площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса х²+5у²=20, а две другие совпадают с концами его малой оси.

5. Напишите уравнение эллипса, если фокусы его находятся в точках F₁(3;0) и F₂(-3;0), а длина большей оси равна 12.

6. Напишите каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку (2;1), асимптоты которой у=±(3/4)х.

7. Напишите каноническое уравнение равносторонней гиперболы, проходящей через точку (3;-1).

8. Напишите уравнения парабол с вершиной в начале координат, для которых директрисами служат прямые А) х=-2; б) х=3.

Домашнее задание № 8

1. Дана окружность (х-3)²+(у+5)²=16. Лежат ли на ней точки А(3;-1), В(3;-9), С(0;3)? Постройте ее в декартовой прямоугольной системе координат.

2. Напишите каноническое уравнение эллипса, если даны его полуоси: а) a=5 и b=2; б) a=2 и b=5. Постройте эти эллипсы.

3. Дано уравнение эллипса . Лежат ли на нем точки А(0;2), В(3;0), С(1;2)?

4. Дано уравнение эллипса . Найдите его полуоси и расстояние между фокусами. Постройте этот эллипс.

5. Дано уравнение эллипса 16х²+25у²=400. Найдите длины осей, координаты вершин и фокусов, вычислите эксцентриситет.

6. Напишите уравнение эллипса, если фокусы его находятся в точках F₁(4;0) и F₂(-4;0), а длина большей оси равна 14.

7. Найдите эксцентриситет эллипса 9х²+16у²=144.

8. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если даны: а) a=7 и b=2; б) a=4 и c=5; в) с=15 и b=9.

9. Дано уравнение гиперболы 9х²-16у²=144. Найдите ее оси и расстояние между фокусами. Постройте эту гиперболу.

10. Дано уравнение гиперболы . Найдите длины осей, координаты вершин и фокусов, вычислите эксцентриситет. Постройте эту гиперболу.

11. Дано уравнение гиперболы . Лежат ли на ней точки А(8;6 ), В(6;3 ), С(3;2 )?

12. Напишите уравнения двух парабол с вершиной в начале координат, зная, что координаты их фокусов равны: а) F₁(4;0) ; б) F₂(-2;0). Постройте эти параболы.

13. Дано уравнение параболы у²=2х. Лежат ли на ней точки А(2;-2), В(1;2), С(0;-1)?

14. Определите координаты фокусов для следующих парабол: а) у²=10х; б) х²=-12у. Постройте эти параболы.

15. Дано уравнение параболы х²=12у. Напишите уравнение директрисы.