Несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость

РАЗДЕЛ 8. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

· Описываются свойства собственных интегралов, зависящих от параметра

· Описываются свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОД ЗНАКОМ СОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ПРАВИЛО ЛЕЙБНИЦА. СЛУЧАЙ, КОГДА ПРЕДЕЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАВИСЯТ ОТ Y

Теорема1.(Правило Лейбница). Пусть несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru непрерывны на несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru . Тогда несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru дифференцируема на несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , причём несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

(В концах отрезка производные односторонние)

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru Пусть несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru . Тогда

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

Подынтегральная функция непрерывна по несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , значит, интегрируема. По теореме Лагранжа получаем:

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

По условию, несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru и, значит, равномерно непрерывна на несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru ; поэтому для любого несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru существует несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru такое, что из неравенств несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru следует, что

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

При несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru получаем, что если несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , то для любого несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru ,

откуда

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

и несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

Теорема 2. В условиях предыдущей теоремы пусть , , где , дифференцируемы на . Тогда

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

(обозначим несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru )

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

Дословно повторяя рассуждения предыдущей теоремы, получим, что при несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

Далее, по теореме о среднем, ввиду непрерывности несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

( несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru )

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

При несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru получаем

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

Пример 1.

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОД ЗНАКОМ СОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Теорема 3. Пусть . Тогда существуют и равны интегралы

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru Обозначим первый из этих интегралов несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , второй - несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru .

Положим несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru .

Докажем, что эта функция непрерывна по совокупности переменных.

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

Оба слагаемых стремятся к 0( первое- ввиду непрерывности несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru ,второе – по теореме о среднем для определённого интеграла) при несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru . Кроме того,

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru по свойству интеграла с переменным верхним пределом, поэтому для

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

имеем, по правилу Лейбница,

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (это обозначение).

Но для несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , по теореме Ньютона-Лейбница имеем:

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

где несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

Итак, несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru ,

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru выполнено равенство

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru . При несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru получаем теорему. несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ

Пусть несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru определена при несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru и любом несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru ( несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru - множество значений параметра y) и пусть для любого несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru сходится интеграл

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (1)

Этот интеграл будем называть сходящимся несобственным интегралом, зависящим от параметра.

Понятие несобственного интеграла, зависящего от параметра, во многом схоже с понятием функционального ряда

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (2)

Функция несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru соответствует несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , переменой интегрирования несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru в (1) соответствует индекс суммирования несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru в (2), параметру несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru в (1) соответствует переменная несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru в (2).

По определению несобственного интеграла

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru .

Рассмотрим интеграл

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (3)

(интеграл (3) аналогичен частичной сумме ряда (2), несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru )

Сходимость (поточечная) интеграла (1) в области несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru означает, что для любого несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru существует несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , т.е.

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (4)

Напомним, что аналогичное (4) условие поточечной сходимости ряда несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru на множестве несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru имело вид

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (5)

сходный с определением поточечной сходимости интеграла (1) на множестве несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru .

При рассмотрении теории рядов мы отмечали, что требование поточечной сходимости(5) ряда (2) не является достаточным для того, чтобы выполнялись равенства:

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (6)

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (7)

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (8)

Аналогичная проблема возникает и для несобственного интеграла, зависящего от параметра. Например, если взять несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , то полагая в нем несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , получаем, что несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , т.е. несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru равен постоянной величине, от несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru не зависящей и несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru .

Однако если рассмотреть интеграл

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , то легко показать, что он расходится. Действительно, при несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , поэтому при несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru выполняется равенство несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , а эта последняя величина не имеет предела при несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru .

Для того, чтобы обеспечить выполнение равенств (6)-(8), для рядов было введено понятие равномерной сходимости, определяемое условиями

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (9)

Равномерность сходимости состоит в том, что число несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru не зависит от несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru .

Аналогично (9) определяем равномерную относительно несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru сходимость интеграла на множестве параметров несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru :

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (10)

Отметим, что отсутствие равномерной сходимости означает

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (11)

Пример.Интеграл

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (12)

сходится при любом несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru . Действительно, несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru . Рассмотрим, при несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru ,величину несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru ,т.е.

несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (условие несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru было использовано в предпоследнем равенстве (при замене переменной сохранился верхний предел интегрирования несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru )).

Эта величина меньше несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , т.е. несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , если несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , т.е. если несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru .

Если область несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru изменения параметров такова, что для всех несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru выполняется неравенство несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , то сходимость интеграла (12) равномерная, т.к. тогда несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru положим несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru (здесь несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru - фиксированная величина) и несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru и несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru имеют место неравенства несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru т.е. несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru . Таким образом, условие (10) выполняется.

Однако в области несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , когда значения параметра могут быть сколь угодно близкими к числу 0, сходимость интеграла (12) перестанет быть равномерной. Действительно, тогда существует несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , например можно взять любое число, удовлетворяющее неравенствам несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , и для любого несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru существуют несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru и несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , например, несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , с условием несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , или несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru , такие что несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru .

Значит, выполняется (11) и интеграл (12) не сходится равномерно в области несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость - student2.ru .

Наши рекомендации