Несобственные интегралы, зависящие от параметра. равномерная сходимость
РАЗДЕЛ 8. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
· Описываются свойства собственных интегралов, зависящих от параметра
· Описываются свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОД ЗНАКОМ СОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ПРАВИЛО ЛЕЙБНИЦА. СЛУЧАЙ, КОГДА ПРЕДЕЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАВИСЯТ ОТ Y
Теорема1.(Правило Лейбница). Пусть непрерывны на . Тогда дифференцируема на , причём
(В концах отрезка производные односторонние)
Пусть , , . Тогда
Подынтегральная функция непрерывна по , значит, интегрируема. По теореме Лагранжа получаем:
,
По условию, и, значит, равномерно непрерывна на ; поэтому для любого существует такое, что из неравенств , следует, что
При , , получаем, что если , то для любого
,
откуда
и
Теорема 2. В условиях предыдущей теоремы пусть , , где , дифференцируемы на . Тогда
(обозначим , , )
Дословно повторяя рассуждения предыдущей теоремы, получим, что при
Далее, по теореме о среднем, ввиду непрерывности
( )
При получаем
Пример 1.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОД ЗНАКОМ СОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Теорема 3. Пусть . Тогда существуют и равны интегралы
Обозначим первый из этих интегралов , второй - .
Положим , , .
Докажем, что эта функция непрерывна по совокупности переменных.
Оба слагаемых стремятся к 0( первое- ввиду непрерывности ,второе – по теореме о среднем для определённого интеграла) при . Кроме того,
по свойству интеграла с переменным верхним пределом, поэтому для
имеем, по правилу Лейбница,
(это обозначение).
Но для , по теореме Ньютона-Лейбница имеем:
где
Итак, ,
выполнено равенство
. При получаем теорему.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
Пусть определена при и любом ( - множество значений параметра y) и пусть для любого сходится интеграл
(1)
Этот интеграл будем называть сходящимся несобственным интегралом, зависящим от параметра.
Понятие несобственного интеграла, зависящего от параметра, во многом схоже с понятием функционального ряда
(2)
Функция соответствует , переменой интегрирования в (1) соответствует индекс суммирования в (2), параметру в (1) соответствует переменная в (2).
По определению несобственного интеграла
.
Рассмотрим интеграл
(3)
(интеграл (3) аналогичен частичной сумме ряда (2), )
Сходимость (поточечная) интеграла (1) в области означает, что для любого существует , т.е.
(4)
Напомним, что аналогичное (4) условие поточечной сходимости ряда на множестве имело вид
(5)
сходный с определением поточечной сходимости интеграла (1) на множестве .
При рассмотрении теории рядов мы отмечали, что требование поточечной сходимости(5) ряда (2) не является достаточным для того, чтобы выполнялись равенства:
(6)
(7)
(8)
Аналогичная проблема возникает и для несобственного интеграла, зависящего от параметра. Например, если взять , , то полагая в нем , получаем, что , т.е. равен постоянной величине, от не зависящей и .
Однако если рассмотреть интеграл
, то легко показать, что он расходится. Действительно, при , поэтому при выполняется равенство , а эта последняя величина не имеет предела при .
Для того, чтобы обеспечить выполнение равенств (6)-(8), для рядов было введено понятие равномерной сходимости, определяемое условиями
(9)
Равномерность сходимости состоит в том, что число не зависит от .
Аналогично (9) определяем равномерную относительно сходимость интеграла на множестве параметров :
(10)
Отметим, что отсутствие равномерной сходимости означает
(11)
Пример.Интеграл
(12)
сходится при любом . Действительно, . Рассмотрим, при ,величину ,т.е.
(условие было использовано в предпоследнем равенстве (при замене переменной сохранился верхний предел интегрирования )).
Эта величина меньше , т.е. , если , т.е. если , .
Если область изменения параметров такова, что для всех выполняется неравенство , то сходимость интеграла (12) равномерная, т.к. тогда положим (здесь - фиксированная величина) и и имеют место неравенства т.е. . Таким образом, условие (10) выполняется.
Однако в области , когда значения параметра могут быть сколь угодно близкими к числу 0, сходимость интеграла (12) перестанет быть равномерной. Действительно, тогда существует , например можно взять любое число, удовлетворяющее неравенствам , и для любого существуют и , например, , с условием , или , такие что .
Значит, выполняется (11) и интеграл (12) не сходится равномерно в области .