Схема исследования функции на возрастание и убывание

1. Найти область определения

2. Найти производную функции

3. Найти критические точки (приравнять производную к 0, найти точки, в которых

производная равна нулю или не существует)

4. Разбить область определения критическими точками на промежутки

5. Определить знак производной на каждом из промежутков

6. Сделать выводы о возрастании и убывании функции на этих промежутках.

Пример

Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции Схема исследования функции на возрастание и убывание - student2.ru .

Найдём область определения Схема исследования функции на возрастание и убывание - student2.ru

Найдём производную

Схема исследования функции на возрастание и убывание - student2.ru Отсюда х=0,х=1, х=-1

Разобьём область определения критическими точками на промежутки и определим знак производной на каждом из промежутков.

 
  Схема исследования функции на возрастание и убывание - student2.ru

Ответ: Схема исследования функции на возрастание и убывание - student2.ru (-∞, -1) Схема исследования функции на возрастание и убывание - student2.ru (0,1)

Схема исследования функции на возрастание и убывание - student2.ru (-1,0) Схема исследования функции на возрастание и убывание - student2.ru (1,+∞)

Точка х0 называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность х0, что для всех х из этой окрестности выполняется Схема исследования функции на возрастание и убывание - student2.ru .

Точка х0 называется точкой локального минимума, если существует такая окрестность х0, что для всех х из этой окрестности выполняется Схема исследования функции на возрастание и убывание - student2.ru .

Схема исследования функции на возрастание и убывание - student2.ru

х0 х х0 х

максимум минимум

Если в точке х0 из области определения производная функции меняет знак с «+» на «-», то в этой точке функция достигает локального максимума.

Если в точке х0 из области определения производная функции меняет знак с

«-» на «+», то в этой точке функция достигает локального минимума.

Таким образом функция может достигать максимума и минимума лишь в критических точках.

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Схема исследования на экстремумы функции такая же как и схема исследования на возрастание и убывание, только необходимо сделать выводы об экстремумах.

Наши рекомендации