Линейный двучлен. Теорема Безу

Линейный двучлен есть многочлен первой степени: a x + b. Если разделить многочлен, содержащий букву x , на линейный двучлен x – b, где b – некоторое число (положительное или отрицательное), то остаток будет только многочленом нулевой степени, т.е. некоторым числом N , которое можно определить, не находя частного. Более точно, это число равно значению многочлена, получаемому при x = b. Это свойство вытекает из теоремы Безу: многочлен a₀ x^m + a₁ x^m-1 + a₂ x^m-2 + …+ a_m делится на двучлен x – b с остатком N = a₀ b^m + a₁ b^m-1 + a₂ b^m-2 + …+ a_m .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с определением операции деления многочленов имеем:a₀ x^m + a₁ x^m-1 + a₂ x^m-2 + …+ a_m = ( x – b ) Q + N ,

где Q – некоторый многочлен, N – некоторое число.

Подставим x = b , тогда слагаемое ( x – b ) Q обращается в нуль, и мы получаем:

a₀ b^m + a₁ b^m-1 + a₂ b^m-2 + …+ a_m = N .

З а м е ч а н и е . При N = 0 число b является корнем уравнения:

a₀ x^m + a₁ x^m-1 + a₂ x^m-2 + …+ a_m = 0 . Теорема доказана.

Деление многочленов

Что значит разделить один многочлен P на другой Q ? Это значит найти многочлены М (частное) и N (остаток), удовлетворяющие двум требованиям:

1) имеет место равенство: MQ + N = P ;

2) степень многочлена N меньше степени многочлена Q.

33ВОПРОСМножества и действия над ними. Элементы математической логики. Логические символы.

Множеством именуется некоторая совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку. Если есть такая совокупность, разумеется, как единое целое, говорят, что имеют дело с множеством. Приведенное определение не может рассматриваться как математически строгое, поскольку понятие множества является исходным, на основе него строятся остальные понятия математики. Тем не менее, из при веденного определения ясно, как можно говорить с множестве, например, действительных чисел или множестве плоских фигур. Если множество состоит из конечного числа элементов, оно называется конечным. Остальные множества называются бесконечными. Для множества используются следующие обозначения: А = {а,b,с,d}

Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым. Обозначается оно знаком Ø.

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют совпадающими. Например, совпадают два конечных множества, которые отличаются друг от друга порядком их элементов.

Определение 1. Пересечением множеств А и В называют их общую часть С. Другими словами, пересечение множеств А и В образуют элементы, принадлежащие равно как А, так и В (обозначается пересечение - n)

Определение 2. Объединением множеств А и В, называют множество С, составленное из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств

Определение 3. Разностью множеств А и В называют множество С = В / А,

Многие математические понятия удобно записывать в виде выражений, содержащих некоторые логические символы. Так, символ , называемый квантором общности, используется вместо слов: «для любого», «для всех», «каково бы ни было…» и т.д., а символ – квантор существования – вместо слов «существует», «найдется хотя бы один…», «имеется» и т.д.

Основной объект математической логики - высказывание. Высказыванием называется повествовательное предложение, которое может быть классифицировано либо как истинное, либо как ложное, но не как и то, и другое вместе.

Если высказывание истинно, будем говорить, что его значение истинности - истина (или (от английского true); если - ложно, то значение истинности – ложь ( от false).

Высказывания в математической логике обычно обозначаются прописными латинскими буквами: , , и т.д. Для того чтобы из высказываний получать новые высказывания, применяются специальные операции - логические связки. Рассмотрим пять основных логических связок. Сначала дадим неформальное объяснение. Однако оно чревато неточностями, поэтому дадим логическим операциям также строгое определение. Определить высказывание — значит, указать, в каких случаях оно истинно, а в каких ложно.

Отрицание — это высказывание, которое получается из данного высказывания с помощью слова «не». Отрицание можно обозначать по-разному: , , .

Простое добавление слова «не» к высказыванию чаще всего будет противоречить языковым нормам. Поэтому в конкретных случаях требуется «перевод» полученного высказывания на русский язык. Пусть, например, = «Завтра пойдет дождь». Что значит «Не (Завтра пойдет дождь)»: «Дождь пойдет не завтра», «Завтра пойдет не дождь» или «Завтра не пойдет дождь»? Здравый смысл подсказывает, что отрицанием высказывания является третье предложение. Чтобы определить точно, дадим формальное определение отрицания.

Отрицанием высказывания называется такое высказывание, которое принимает значение (ложно), если высказывание истинно, и значение (истинно), если высказывание ложно. В нашем примере этому условию удовлетворяет только третье предложение. Итак, = «Завтра не пойдет дождь».

Дизъюнкция - это высказывание, которое получается из двухданных высказываний и с помощью союза «или». Дизъюнкция обозначается .

Дизъюнкция строится с помощью неисключающего «или». Таким образом, дизъюнкция истинна, когда истинно, по крайней мере, одно из высказываний и или оба вместе. Другими словами,дизъюнкция ложна в том и только в том случае, когда оба высказывания ложны.

Конъюнкция - это высказывание, которое получается из двух данных высказываний и спомощью союза «и». Конъюнкция обозначается . Конъюнкция справедлива в том и только в том случае, когда оба высказывания истинны.

Импликацияобразуется из высказываний и с помощью слов «если... то...». Получается высказывание вида «если то ». Напомним, что математическая логика носит формальный характер, содержанием высказываний она не, занимается.

На примере импликации хорошо видна разница между обычным языком и языком логики. В обычном языке сложное предложение «если , то » предполагает между и отношение посылки и следствия, или же причины и обусловленного ею действия. В логике импликация связывает любые два высказывания.

Импликация обозначается , при этом говорят: « влечет » или « при условии, что », « , если », « есть достаточное условие для », « есть необходимое условие для ».

Договорились, что импликация ложна в том и только в том случае, когда высказывание истинно, а высказывание ложно. Такое определение подсказано здравым смыслом: разумно считать импликацию истинной, если истинно, независимо от значения ; если оба участника импликации ложны, импликация, естественно, также истинна. В единственном случае, когда «предпосылка» импликации истинна, а «вывод» ложен, импликация считается ложной.

Эквиваленция образуется из высказываний и с помощью слов «...тогда и только тогда, когда...»:

Утверждение « тогда и только тогда, когда » не означает в логике, что составляющие высказывания и имеют одно и то же значение или один и тот же смысл.

Эквиваленция обозначается . Синонимы для эквиваленции: «если , то , и если , то », « в том и только в том случае, когда », «И есть необходимое и достаточное условие для », « есть необходимое и достаточное условие для ». Разумное определение эквиваленции: эквиваленция истинна в том и только в том случае, когда высказывания и имеют одинаковое значение истинности (либо оба истинны, либо оба ложны).

Новые высказывания (отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация и эквиваленция) образуются из существующих высказываний с помощью операций, или логических связок, имеющих те же названия.

В логике, как и в арифметике, операции делятся по старшинству. Это позволяет при записи сложных высказываний избегать большого количества скобок. Порядок выполнения операций таков: приоритет имеет отрицание, затем на одном уровне — дизъюнкция и конъюнкция, следующая связка — импликация и, наконец, самая последняя — эквиваленция.

34. Необходимое и достаточное условия. Прямая и обратная теоремы.

Необходимыми условиями правильности утверждения А наз-ся такие условия, без соблюдения кот-х утверждение А заведомо не м.б. верным, а достаточными условиями правильности утверждения А наз-ся условия, при выполнении кот-х утверждение А заведомо верно. Пример: необходимым условием делимости целого числа на 2 явл-ся то, чтобы число, будучи записано в десятичной системе счисления, не кончалось цифрой 7. Условие это необходимо, но не достаточно, так как, например, число 23 не кончается цифрой 7 и всё-таки не делится на 2. Достаточным условием делимости числа на 2 явл-ся то, чтобы оно кончалось цифрой 0. Это условие достаточно, но не необходимо, так как число 38 не кончается цифрой 0 и все-таки делится на 2. Обычно употребляемый признак делимости на 2 (чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра делилась на 2) явл-ся примером условия одновременно необходимого и достаточного.

Обратная теорема - теорема, условием к-рой служит заключение теоремы исходной (прямой), а заключением - условие. Обратной к обр. теор. будет исходная (прямая) теорема, так что прямая и обр.т. взаимно обратны. Обр. теор. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в к-рой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение прямой теоремы, то неверно и ее условие. Известный способ "доказательства от противного" как раз и представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения

35ВОПРОСМетод математической индукции. Бином Ньютона.

Математическая индукция - специальный метод доказательства предложений типа (или , Этот метод хотя и называется индуктивным, по своей структуре представляет собой дедуктивное рассуждение, опирающееся на аксиому математической индукции:

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

Где — биномиальные коэффициенты, n- неотрицательное целое число.

36ВОПРОСМножество действительных чисел. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Наибольший и наименьший элементы числового множества. Верхняя и нижняя грани числового множества.

Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел(целые+рациональные(дроби)+иррациональные)

Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: | х | = - х.

Числовое множество(в конспекте-последовательность) наз. огранниченным,если существует такое число М,что все члены множества(в конспекте-последовательности) будут меньше чем М

Множество ХÌ R наз. ограниченным сверху,если существует такое число b ∈ R, что для всех х ∈ Х имеет место неравенство х £ b.

Число b наз. в этом случае числом,ограничивающим сверху множество Х.

Множество Х наз. ограниченным снизу,если существует такое число а∈ R, что для всех х∈ Х выполняется неравенство х ≥ а.

Число а наз. в этом случае числом,ограничивающим снизу множество Х.

Множество,ограниченное сверху и снизу наз. ограниченным.

Множество,не являющееся ограниченным,наз. неограниченным.

Множество Х наз. неограниченным сверху,если для любого числа b∈ R найдется такой х∈ Х, что х>b.

Верхняя грань множества Е действительных чисел — наименьшее из всех чисел А, обладающих тем свойством, что для любого х из Е выполняется неравенство х ≤ А.

обозначается sup Е

Аналогично понятию Верхняя грань множества определяется нижняя грань (Н. г.) множества Е как наибольшее из чисел В, обладающих тем свойством, что для любого х из Е выполняется неравенство x ≥ B.

обозначается inf Е

Элемент а ∈ X называется наибольшим или максимальным (наименьшим или минимальным) элементом множества X Ì R, если х ≤ а (соответственно x ≥ а) для любого элемента х ∈ X.

Если Х-числовое множество и для некоторого числа а и всех х∈ Х выполняется неравенство х ≤ а(соответственно x ≥ а),то sup ≤ а(inf х≥а), так как supХ(соответственно infХ) является наименьшим(наибольшим) среди всех чисел,ограничивающих сверху(снизу)множество Х.

37ВОПРОСПонятие предела числовой последовательности. Бесконечно малые числовые последовательности и их свойства. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности, теорема Вейерштрасса.

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому,

предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.