Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов

Если Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru аналитична в некоторой замкнутой односвязной области Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru , за вычетом конечного числа особых точек Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru , из которых ни одна не принадлежит граничному контуру Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru , то справедлива следующая формула:

Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru , где Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru — вычет Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru в точке Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru .

Из теоремы о В. вытекает теорема о полной сумме вычетов: если f(z) - однозначная аналитич. функция в расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма всех В. функции f(z), включая В. в бесконечно удаленной точке, равна нулю.

38. Вычисления определенных интегралов по отрезку [0,2п] от рациональной функции относительно sint и cost и несобственных интегралов с бесконечными пределами рациональных функций.

Рассмотрим интеграл вида

Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru ,

где R(x) – рациональная функция, Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru , причем многочлен Q(x) не обращается в нуль на вещественной оси и его степень по крайней мере на две единицы больше степени числителя. В этом случае интеграл сходится и его значение определяется по формуле

Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru ,

Вычисления определённых интегралов от тригонометрических функций

Пусть функция Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru — рациональная функция переменных Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru и Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru . Для вычисления интегралов вида Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru удобно использовать формулы Эйлера. Положив, что Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru , и произведя соответствующие преобразования, получим:

Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru .

Леммы Жордана. Несобственные интегралы по действительной оси от функций

Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru

(Лемма Жордана). Если f(z)ÎC¥(Imz>0. z1,z2,...,zN¹¥) и f(z)=>0 при |z|®¥(равномерно по argz , Imz>0), то при ReZ>0

Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru CR - полуокружность |z|=R Imz>0.

Пусть R(x) - рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси, для которой точка z, равная бесконечности, - нуль порядка не ниже первого.

Тогда справедливы формулы:
Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru
Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru
Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru
Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru
Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru
Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru
Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru

Преобразование Лапласа. Условия на функцию - оригинал.

Пусть имеем функцию действительного переменного f(t), которая удовлетворяет следующим условиям:

1) f(t) однозначна и непрерывна вместе со своими производными n-го порядка для всех t, кроме тех, где она и ее производные имеют разрывы 1-го рода. При этом в каждом конечном интервале изменения t имеется конечное число точек разрыва;

2) f(t)=0для всех t<0;

3) f(t) возрастает медленнее некоторой экспоненциальной функции Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru , где М и а- некоторые положительные величины, т.е. всегда можно указать такие М и а, чтобы при любом t>0 соблюдалось неравенство Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru .

В операционном исчислении функции f(t) ставится в соответствие новая функция F(p), определяемая равенством

Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов - student2.ru

Где p - положительное действительное число или комплексное число с положительной действительной частью.

Функция f(t) при этом называется оригиналом, а F(p)- изображением функции f(t) по Лапласу.

Наши рекомендации