И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты

Если существует окрестность точки такая, что для всякой точки этой окрестности выполняется неравенство (или ), то точка называется точкой минимума (максимума) функции . Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума).Если – точка экстремума функции , то или не существует ( – критическая точка этой функции).

Теорема 2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки , за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах и производная имеет противоположные знаки, то – точка экст-ремума, причем если при и при , то – точка максимума. Если же при и сохраняет знак, то точка не является точкой экстремума.

Теорема 3 (второе достаточное условие экстремума). Пусть дважды дифференцируема и . Если , то – точка максимума функции , если , то – точка минимума. Если же , то требуются дополнительные исследования.

Если на интервале (a; b) всякая касательная располагается выше (ниже) дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым (вогнутым).

Если на интервале (a; b), то график функции является вогнутым на этом интервале; если же , то график функции – выпуклый на (a; b).

Точка , при переходе через которую направление вы-пуклости графика функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Теорема 4 (необходимое условие точки перегиба). Если – абсцисса точки перегиба графика функции , то или не существует.

Теорема 5 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , в которой или не существует. Если при этом в интервалах и вторая производная имеет противоположные знаки, то – точка перегиба.

Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М(x, f(x)) графика функции до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.

Для существования вертикальной асимптоты х = а необходимо
и достаточно, чтобы хотя бы один из односторонних пределов был равен бесконечности.

Для существования наклонной асимптоты необходимо и достаточно существование двух пределов

.

Пример 7.1. Для функции найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума.

Решение. Находя производную и приравнивая ее нулю, получаем и (при х = 0 не существует). Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.

х		–1	(–1; 0)		(0; 1)		( )
	+		–	Не сущ.	+		–
	­		¯	Не сущ.	­		¯

Следовательно, – интервалы возрастания функции; – интервалы убывания функции; – точки максимума. Точек минимума нет.

Пример 7.2. Для графика функции найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

Решение. Находим вторую производную . Критическими точками второй производной являются точки 0 и 6 ( в этих точках не существует). Они разбивают область определения функции на три интервала, на которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.

х			(0; 6)		( )
	–	Не сущ.	–	Не сущ.	+

Таким образом, – интервалы выпуклости графи-ка функции; – интервал вогнутости графика функции; (6, 0) – точка перегиба.

Пример 7.3. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой, так как

.

Наклонную асимптоту ищем в виде ,

где

Поэтому прямая – наклонная асимптота.