П. 2.7. числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу [a, b], называется определенный интеграл т.е.

М (Х) = (2.7.1)

Если возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то

М (Х) =

при этом предполагается что интеграл существует.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины определяется дисперсия непрерывной случайной величины:

(2.7.2)

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то

Свойства М(х) и D(x) формулируются так же, как и соответствующие свойства для дискретной величины.

Величину σ_x = называют средним квадратическим отклонением случайной величины или стандартом, σ_x имеет ту же размерность, что и сама случайная величина. Из формулы (12.7.2) нетрудно получить более удобные формулы для вычисления дисперсии, а именно:

(2.7.3)

(2.7.4)

Пример. Случайная величина х задана функцией распределения

Найдите: 1) коэффициент а; 2) М(Х); 3) D(X).

Решение. Используя формулу (2.6.4), получаем

1.

2.

3.

П. 2.8. ПРИМЕРЫ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ

НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Случайные величины, имеющие нормальное распределение, очень часто встречаются в земледелии и животноводстве, ветеринарии, инженерном деле и в других отраслях знания. Приведем примеры таких величин:

1. масса клубня картофеля;

2. масса одного зерна пшеницы некоторого сорта;

3. содержание жира в молоке, полученного от различных животных;

4. содержание кормовых единиц в суточном рационе шестимесячных телок;

5. масса животного некоторой породы на определенную дату;

6. погрешности измерений.

Для этих величин характерным является то, что на их формирование влияет большое число факторов, причем влияние каждого из них мало и ни один фактор не имеет значительного преимущества перед другими. Эти величины можно отнести к величинам, имеющим нормальный закон распределения, полагая, что их возможные значения не отрицательны.

Определение. Случайная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее функция плотности вероятности имеет вид

(2.8.1)

где σ и а - параметры распределения.

График функции f (x) называется кривой нормального распределения. Методами дифференциального исчисления можно установить, что:

1) кривая симметрична относительно прямой х = а;

2) функция имеет максимум при х = а,

3) по мере удаления х от точки а функция убывает и при х → ±¥ кривая приближается к оси Ох;

4) кривая выпукла при и вогнута при и при . График функции f (x) имеет вид, изображенный на рис. 5.

Форма кривой изменяется с изменением параметра σ. С возрастанием σ функция f (x) убывает, кривая становится более пологой и растянутой вдоль оси Ох.

Рис. 5

Значениям случайной величины, близким к математическому ожиданию, соответствует большая плотность вероятности, т. е. малые отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания встречаются более часто, чем большие.

Параметр а есть математическое ожидание случайной величины, а σ - среднее квадратическое отклонение.

Пример 1. Известно, что случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, М(Х) = 6, σ² = 9. Найдите функцию плотности вероятности.

Решение. Имеем а = 6, а = 3:

Пример 2. Известно, что случайная величина X подчиняется нормальному закону с функцией плотности вероятности

Найдите М(Х) и D(X).

Решение. Имеем M(X) = 15, D(X) = σ² = 10² = 100.