Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства

Определение 1. Последовательность Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю, т.е. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru .

Определение 2. Последовательность Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru называется бесконечно большой, если для всякого сколь угодно большого числа Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru существует такой номер Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru , начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru .

С геометрической точки зрения это означает, что в любой окрестности нуля находится лишь конечное число членов последовательности, а вне ее – бесконечно много.

Если последовательность Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru – бесконечно большая, то пишут Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru . Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены бесконечно большой последовательности положительны (отрицательны), то пишут Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru ( Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru ). Отметим, что бесконечно большая последовательность не является сходящейся и символическая запись Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru означает только, что последовательность Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru является бесконечно большой, но вовсе не означает, что она имеет предел.

Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, поскольку вне любой окрестности нуля имеется член последовательности (даже все члены, начиная с некоторого номера). Обратное неверно: неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.

Пример 1.Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru . Доказать, что последовательность Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства - student2.ru : а) неограниченная; б) не является бесконечно большой.

Наши рекомендации