Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых.

Определение: Ф-цияf(x) назыв бесконечно малой, если её предел при х→а, равен 0

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru =0

или Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru >0, Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru >0. что Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Свойства:

1) Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru =Аó(f(x) - A) – б.м. при х→а. Следствие Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru =А → f(x)=A+α, α -б.м.

2) α, β -б.м. → α + β= б.м.

3) α -б.м. , у- ограниченная, α *у – б.м. Следствие: -

α*β- б.м., где α и β -б.м.

- С* α -б.м, где α -б.м. С - const

4) α/y –б.м. где α-б.м. , lim y≠0

Определение: Ф-цияf(x) назыв бесконечно большой, если её предел при х→а, равен ∞

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru =∞

Теорема: (связь между б.м и б.б.)

у=f(x) – б.м. при х→а ó 1/f(x) – б.б. при х→а и наоборот.

Теоремы о пределах. Односторонние пределы.

Теорема 1: Пусть lim{x→a}f(x)=А и lim{x→a}g(x)=В, тогда 1)lim{x→a}(f(x)+g(x)) = А+В; 2)lim{x→a}(f(x)*g(x)) = А*В; 3)lim{x→a}(f(x)/g(x)) =А/В

Теорема 2: lim f1(x)= А1 lim f2(x) = А2, f1(x)<=f2(x), Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru x Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru D(f) => A1<A2

Теорема 3: lim f1(x)=А, lim f2(x) = А, f1(x)<f(x)<f2(x) => lim f(x) =A

Определение: если при вычислении предела lim{x→a}f(x) при х→а, Х остаётся всё время меньше (больше) а, то предел называется левым(правым) – оба односторонние.

Замечание: 1) Если сущ-ют и равны м/у собой односторонние пределы, то они равны пределу f(x), при х→а. 2) Если существует предел данной функции, то существует и его односторонние пределы.

Первый и второй замечательные пределы.

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru и Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru и докажем, что они равны 1.

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.Очевидно, что:

(1)

(где SsectOKA — площадь сектора OKA)

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

(из Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Так как при Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru :

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Умножаем на sinx:

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Перейдём к пределу:

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Второй замечательный предел

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство второго замечательного предела для случая последовательности (т.е. для натуральных значений x)

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru Докажем вначале теорему для случая последовательности Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

По формуле бинома Ньютона: Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Полагая Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru , получим:

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru убывет, поэтому величины Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru возрастают. Поэтому последовательность Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru — возрастающая, при этом

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru .

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru .

Поэтому Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru выполняются неравенства (2) и (3): Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru . Рассмотрим два случая:

1. Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru , где n = [x] - это целая часть x.

Отсюда следует: Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru , поэтому

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru .

Если Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru , то Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru . Поэтому, согласно пределу Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru , имеем:

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru .

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru .

2. Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru . Сделаем подстановку − x = t, тогда

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru

Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru .

Из двух этих случаев вытекает, что Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых. - student2.ru для любого x.

Наши рекомендации