Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение. Последовательность { х_n} называется бесконечно большой, если для как угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующих номеров n > N выполняется неравенство | x_n | > A:

Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n + 1, … не является бесконечно большой, поскольку при A > 1 неравенство | x_n| > A выполняется не для всех элементов x_n с нечетными номерами.
Определение. Последовательность {α_n} называется бесконечно малой, если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, зависящий от этого ε, такой, что для любых n > N выполняется неравенство |α_n| < ε:

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин
и связь между ними

Пусть f₁ (x) и f ₂ (x) бесконечно малые величины при ,
т.е. и .

1. Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

. (4.17)

2. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

. (4.18)

3. Произведение бесконечно малой величины на константу С или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно малая:

.

Пусть и бесконечно большие величины при ,
т.е. и .

1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

.

2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

.

3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно большая:

26) Теорема о двух милиционерах — теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом:

Если функция y = f(x) такая, что для всех x в некоторой окрестности точки a, причем функции φ(x) и ψ(x) имеют одинаковый предел при , то существует предел функции y = f(x) при , равный этому же значению, то есть Равномерная сходимость. Отличие равномерной сходимости от поточечной в том, что скорость сходимости не зависит от точки. Определение. Последовательность функций fn : X ! R равномерно сходится на X к функции f, если 8" > 0 9N = N(") 8x 2 X (n > N ) jfn(x) 􀀀 f(x)j < "): Равномерная сходимость обозначается через fn(x) f(x). Природа множества X здесь никакой роли не играет. Можно считать, что X Rk. Дальше потребуется, чтобы X было компактно и измеримо (по Жордану). При необходимости уменьшить затрудняющий продвижение дискомфорт, первоначально полезно думать, что X является просто отрезком числовой оси. Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии не более чем заданное. Определение Последовательность точек метрического пространства (X,ρ) называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши: для любого существует такое натуральное Nε, что для всех n,m > Nε.

27) Функция f (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому^[3] элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.^[4]

При этом говорят, что функция f задана на множестве X, или что f отображает X в Y.

Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент y находится в функциональной зависимости f от элемента x. При этом переменная x называется аргументом функции f или независимой переменной, множество X называется областью задания или областью определения функции, а элемент y, соответствующий конкретному элементу x — частным значением функции f в точке x. Множество Y всех возможных частных значений функции f называется её областью значений или областью изменения

Число A называется пределом функции при , если для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число δ(ε), что для всех x, удовлетворяющих условию

(11)

выполняется неравенство

(12)

Для обозначения предела функции при используется символическое выражение

или запись вида

.Равномерная сходимость последовательности функций (отображений) — свойство последовательности , где X — произвольное множество, Y = (Y,d) — метрическое пространство, сходится к функции (отображению) , означающее, что для любого существует такой номер N_ε, что для всех номеров n > N_ε и всех точек выполняется неравенство

Обычно обозначается .

Это условие равносильно тому, что

28)Первый замечательный предел:

29) Второй замечательный предел:

₃₂₎ Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x₀) можно представить в виде

f(x₀ + h) = f(x₀) + Ah + o(h)

если существует.