Вычисление пределов функции

· Непосредственное вычисление состоит в том, что вместо аргумента x подставляется его предельное значение, и выполняются все необходимые операции.

· Раскрытие неопределенности вида состоит в сокращении дроби на множитель, стремящийся к нулю, при этом, если:

§ в числителе и знаменателе дроби многочлены, то их следует разложить на линейные множители или, если квадратное уравнение приведенное

§ под знаком предела иррациональное выражение (выражение, содержащее корень ), то следует числитель и знаменатель умножить на сопряженный множитель [например, для получения формулы (a–b)(a+b)= a²–b²].

§ под знаком предела находится тригонометрическое выражение, то следует его преобразовать так, чтобы дробь сократилась.

Задача 1.Вычислить предел:

Решение: подставим в дробь, стоящую под знаком предела, x=2:

Задача 2. Вычислить предел:

Решение: при непосредственной подстановке x=4 в дробь, получаем неопределенность вида . Разложим квадратные трехчлены в числителе и в знаменателе на множители.

x2-6x + 8 = 0 По т. Виета Þ x1=4, x2=2

x2-5x + 4 = 0 По т. Виета Þ x1=1, x2=4

Тогда: .

Задача 3. Найти следующие пределы:

3.1. a) ;б) ;

3.2. a) ;б) ;

3.3. a) ;б) ;

3.4. a) ;б)

3.5. a) ;б)

3.6. a) ;б)

3.7. a) ;б)

3.8. a) ;б)

3.9. a) ;б)

3.10. a) ;б)

Практическое занятие №4

Первый замечательный предел

Предел вида называется первым замечательным пределом.

Следствия:

1. , 2. , 3. ,

4. , 5. , 6. ,

7. .

Задача 1. Вычислить предел:

Решение:При непосредственной подстановке имеем неопределенность вида . Преобразуем дробь, стоящую под знаком предела так, чтобы задача была сведена к первому замечательному пределу:

[т.к. и числитель, и знаменатель полученной дроби представляет собой первый замечательный предел].

Задача 2.

2.1. a) ;б) ;

2.2. a) ;б) ;

2.3. a) ;б) ;

2.4. a) ;б) ;

2.5. a) ;б) ;

2.6. a) ;б) ;

2.7. a) ;б) ;

2.8. a) ;б) ;

2.9. a) ;б) ;

2.10. a) ;б) ;

2.11. a) ;б) ;

Практическое занятие № 5,6

Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывной функции. Точки разрыва. Глобальные свойства непрерывных функций

Непрерывность в точке

Определение 1. Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

Определение 2. функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и ее окрестности и выполняется равенство , где , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Задача 1. Исследовать на непрерывность функцию y=sin x.

Решение. Функция y=sin x определена при любом х. Возьмем произвольную точку х и найдем приращение Dу:

.

Тогда , т.к. произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции (б.м.ф.) есть б.м.ф.

2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке.

Определение 3. Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение 4. Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в каждой точке х=a непрерывна справа (т.е. ), а в точке х=b непрерывна слева (т.е. ).

3. Точки разрыва функции и их классификация.

Определение 5. Точки в которых нарушается непрерывность функции называются точками разрыва этой функции.

х=х₀ – точка разрыва если не выполняется по крайней мере одно из условий определения 1, а именно:

1. функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке. (например, ).

2. функция определена в точке х₀ и ее окрестности, но не существует предела f(x) при х®х₀.

Задача 2. Задана функция у=f(x). Найти точки разрыва, если они существуют. .

Решение. Функция определена в точке х=2 (f(2)=0), однако в точке х=2 имеет разрыв, так как односторонние пределы при х®2 слева и справа не равны между собой:

, .

3. функция определена в точке х₀ и ее окрестности, существует но этот предел не равен значению функции в точке х₀: .

Задача 3. Задана функция у=f(x). Найти точки разрыва, если они существуют. .

Решение: Здесь х₀=0 – точка разрыва: предел функции неравен значению функции в этой точке однако .

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение 6. Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. . При этом:

а) если А₁=А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

б) если А₁¹А₂, то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

Величину ½А₁–А₂½ называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Задача 4. Задана функция у=f(x) и два значения аргумента x₁ и x₂. Требуется:

1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;

2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа;

3) сделать схематический чертеж.

4.1. f(x)=5^2/(2–x) x₁=0 x₂=2 4.2. x₁=0 x₂=1

4.3. f(x)=11^1/x x₁=0 x₂=4 4.4. f(x)=3^1/(7–x) x₁=1 x₂=7

4.5. f(x)=4^2/(1+x) x₁=0 x₂= –1 4.6. x₁=1 x₂=2

4.7. x₁=0 x₂= –4 4.8. x₁=1 x₂=5

4.9. x₁=1 x₂= –2 4.10. x₁=3 x₂=2

Задача 5. Задана функция у=f(x). Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.

5.1. f = . 5.2. .

5.3. f . 5.4. f .

5.5. f . 5.6. f(x) = .

5.7. f(x) = . 5.8. f(x) = .

5.9. . 5.10. f .

Практическое занятие №7