Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя

Глава 4.

Тема 5 .

Напомним определения локальных экстремумов функций.

Определение 5.1. Функция Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru имеет локальный максимум в точке Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , если существует окрестность Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , в которой Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru для всех Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru называется точкой локального максимума. Значение функции в этой точке называется значением локального максимума.

Определение 5.2.Функция Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru имеет локальный минимум в точке Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , если существует окрестность Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , в которой Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru для всех Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru называется точкой локального минимума. Значение функции в этой точке называется значением локального минимума.

Определение 5.3.Точками локальных экстремумов назовём точки локальных минимумов либо локальных максимумов. Значение локального максимума или минимума назовём значением локального экстремума.

Определение критической точки функции. Пусть функция Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru задана на интервале Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru называется критической точкой функции Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru тогда и только тогда, когда выполнены условия: а) производная функции Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru существует и Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru или в) Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru не существует.

Теорема Ферма. Если функция Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru имеет в точке Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru локальный экстремум, то эта точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru является критической точкой.

Доказательство. Пусть точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru экстремальная. Если в точке Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru производная Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru не существует, то по определению она критическая. Если в точке Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru производная Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru существует, то докажем, что в этом случае она равна нулю. Для простоты рассмотрим случай, когда экстремальная точка является точкой локального минимума. То есть если Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru лежит вблизи Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , то Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru и Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Если точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru лежит слева от точки Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , то Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru и

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Если точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru лежит справа от точки Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , то Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru и Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Так как по предположению производная существует, то левый предел должен быть равен правому пределу. А это возможно когда Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Аналогично рассматривается случай, когда точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru является точкой локального максимума.

Теорема Ролля.Если функция Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru непрерывна на отрезке Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , дифференцируема в интервале Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru и на концах отрезка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , то найдётся точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru в которой Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Доказательство. По свойству непрерывных на отрезке функций существуют точки минимума и максимума Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Если Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , то Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru для всех Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . В этом случае для любой точки Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Если Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru ,то либо Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru лежит внутри интервала Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Обозначив эту точку буквой Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru получим Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru по теореме Ферма.

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа).

Пусть функция Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru непрерывна в замкнутом интервале Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru и имеет производную в каждой точке Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Тогда найдётся, точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru из интервала Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru такая, что

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru (5.1)

или

B
Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru (5.2)

C
A
Геометрический смысл теоремы о среднем простой. Дробное отношение в левой части равенства (5.1) это тангенс угла наклона секущей прямой проходящей через конечные точки графика Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Производная в точке Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru в правой части (5.1) это тангенс угла наклона касательной прямой. Теорема говорит о том, что для секущей прямой проходящей через конечные точки графика всегда найдётся параллельная ей касательная к графику (рис.1).

рис.1

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru (5.3)

Проверим, что для этой функции выполнены все условия теоремы Ролля. Действительно эта функция непрерывна на отрезке Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru и и имеет производную в каждой точке Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Кроме того

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Следовательно, существует точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru в которой Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Отсюда

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

И теорема Лагранжа о среднем в дифференцировании доказана.

Рассмотрим полезное обобщение теоремы о среднем в дифференцировании .

Теорема Коши. Пусть Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru - непрерывные на отрезке Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru функции, у которых производные Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru определены и непрерывны на Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , причём Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Тогда существует число Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru такое, что справедлива формула

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru (5.4)

Замечание. Если в теореме Коши взять Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , то мы получим теорему Лагранжа. Поэтому, теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа.

Доказательство. Доказывать будем по схеме доказательства теоремы Лагранжа.

Рассмотрим вспомогательную функцию Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , так как по условию Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Проверкой убеждаемся, что Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Производная функции Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru на интервале Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru равна

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

По теореме Ролля существует точка Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , что Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru или Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Теорема Коши доказана.

Полезное следствие. Если Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , то для любых Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru существует число Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , что

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru (5.5)

Используя полученную формулу (5.5), докажем правило вычисления некоторых пределов, называемым правилом Лопиталя.

Первое правило Лопиталя. Если Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru удовлетворяют условиям теоремы Коши и

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru (5.6)

Существует предельное значение Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru ,

тогда

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru (5.7) Доказательство. Докажем теорему для случая когда Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru конечное число. Пусть выполнено условие теоремы (5.6). Так как функции Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru непрерывны, то Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru и на любом из отрезков Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru лежащем в Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru выполнены условия теоремы Коши.

По формуле (5.4) всегда найдётся Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru между Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru такое, что

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Отсюда следует, если Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru и поэтому Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Следовательно Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . И первое правило Лопиталя доказано.

Пример 5.1.Вычислить пределы1) Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru ; 2) Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Вычисляем первый предел Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Вычисляем второй предел

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Применяем правило Лопиталя повторно

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Краткая запись будет выглядеть так

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru = Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Второе правило Лопиталя. Если Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru и предельное значение

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru существует, то

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru (5.8)

Примем это правило без доказательства. Доказательство можно найти в любом курсе математического анализа.

Замечание.Правила Лопиталя остаются справедливыми, если Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Замечание. При пользовании правилом Лопиталя, не путайте правильное выражение Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru с неправильным Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru выражением.

Пример 5.2. Используя второе правило Лопиталя вычислить пределы

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Решение. 1) Вычисляем предварительно Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Тогда Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Тогда по правилу (5.8) Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

2) Вычисляем предварительно Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Применяем правило

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Результат показывает, что правило нужно применять повторно

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Пример 5.3. Докажем формулу второго замечательного предела Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Положим Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Вычислим предел функции Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Таким образом Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Так как логарифмическая функция непрерывна, то

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Другие случаи применения правила Лопиталя.Правила Лопиталя позволяют вычислять не только пределы дробей типа Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru , но также пределы и других типов. Рассмотрим различные случаи.

1 случай Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Найти предел Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Решение. Вычисление данного предела сводим к использованию правила Лопиталя.

Для этого преобразуем выражение к общему знаменателю

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Переходя к пределу, получим Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru =

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru = Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

2 случай ( Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru ). Найти пределы 1) Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru ; 2) Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Решение. 1) Вычисление данного предела сводим к использованию правила Лопиталя.

Для этого преобразуем данное выражение к дроби с помощью операции логарифмирования степени. Обозначим Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Тогда Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Вычисляем предел полученного выражения

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Итак Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Так как логарифмическая функция непрерывна, то

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru или Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru =1.

2) Преобразуем данное выражение к дроби с помощью операции логарифмирования

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru ; Переходя к пределу пользуемся правилом Лопиталя

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru ;

Обозначим Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Так как логарифмическая функция непрерывна, то

0= Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Или Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

3 случай Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Найти пределы 1) Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru ; 2) Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Вычисление данного предела сводим к использованию правила Лопиталя. Для этого преобразуем данное выражение к дроби с помощью операции логарифмирования Обозначим Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Тогда Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Вычисляем предел полученного выражения Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . По аналогии с предыдущими примерами Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

2) Преобразуем данное выражение к дроби с помощью операции логарифмирования

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Вычисляем предел полученного выражения

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Обозначим Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Так как логарифмическая функция непрерывна, то

0= Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru . Или Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru .

Контрольные вопросы.

I.Дайте геометрические иллюстрации теорем: Ферма, Ролля, Лагранжа.

II.Какая теорема используется для доказательства правила Лопиталя.

III.Почему нельзя использовать теорему Лагранжа для доказательства правила Лопиталя.

IV.Сформулируйте первое правило Лопиталя.

V.Сформулируйте второе правило Лопиталя.

Далее предлагаются упражнения по данной теме для самостоятельной работы . В разделе ответы и решения приведены решения упражнений и ответы.

Упражнение 5.1 . Вычислить указанные пределы

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Упражнение 5. 2. Вычислить указанные пределы

Теорема о среднем в дифференцировании (Лагранжа). Первое и второе правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя - student2.ru

Наши рекомендации