Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора

Приведем (без доказательств) несколько теорем, утверждения которых играют большую роль в аппарате дифференциального исчисления.

1. Теорема Ролля о корнях производной. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в интервале (а, b) и f(a) = f(b), то в интервале (а, b) найдется хотя бы одно значение х =x, при котором f `(x) = 0. Если f(a) = f(b) = 0 (частный случай), то теорема Ролля означает, что между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной. Геометрическое истолкование: если непрерывная на отрезке [a, b] кривая имеет в каждой точке касательную, не параллельную оси Оу, и равные ординаты в точках а и b, то найдется по крайней мере одна точка x (a < x < b) такая, в которой касательная к кривой параллельна оси Ох (tga = f `(x) = 0).

2. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х =x, при котором выполяется равенство f(b) – f(a) = (b – a) f `(x).

Геометрический смысл: на дуге АВ непрерывной кривой у = f(x) имеющей в каждой точке касательную не параллельную оси Оу найдется хотя бы одна точка x (a < x < b) такая, в которой касательная параллельна хорде АВ.

3. Теорема Коши (об отношении приращений двух функций): Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в интервале (a, b), причем j`(x) ¹ 0, то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х =x ( a < x < b) такое, что Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru. Теорема Коши позволяет доказать два важных для решения задач теории пределов утверждения, известных под названием правила Лопиталя.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и j(x) на некотором отрезке [a, b] удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль точке а т.е.

f(a) =j(a) = 0; тогда, если существует Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru, то существует и Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru, причем Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru. Это правило позволяет во многих случаях раскрыть неопределенности вида 0/0 (такие, например, как первый замечательный предел), причем: а) теорема справедлива и в случае, когда f(x) и j(x) неопределены при х = а, но Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ruи Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru; б) если f `(a) = j`(a) = 0, а функции f `(x) и j`(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши, то, применяя правило Лопиталя дважды, получим Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru; в) процедура (при выполнении соответствующих условий) может быть повторяема до получения результата.

Правило справедливо и в случае Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ruи Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru.

Теорема 2. Пусть функции f(x) и j(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши при всех х¹ а в окресности точки а, Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ruи Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru, и пусть существует предел Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru. Тогда существует и предел Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru, причем

Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru (3.28).

Это правило позволяет раскрывать неопределенности вида Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru. Оно справедливо и в случаях: а) А = ¥; б) х ® ¥.

Во многих случаях это правило позволяет раскрыть неопределенности и других видов, применив предварительно те или иные преобразования. Так, неопределенности вида 0 × ¥ или ¥ – ¥ приводят к виду Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ruили Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ruпутем алгебраических преобразований данной функции; в случае неопределенности вида 00, ¥0, или 1¥ следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Примеры: 1. Неопределенность вида (∞-∞): Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru (неопределенность вида Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru , применяем правило Лопиталя). = Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ( Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ;правило Лопиталя) = Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru

2. Неопределенность вида 00: Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru . Обозначим Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru . Прологарифмируем обе части равенства Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru (неопределенность вида ∞·0) = Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ( Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ; правило Лопиталя) = Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ( Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ; правило Лопиталя) = Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ; Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ; Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru0=1 т.е. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ;

Формула Тейлора.Нередко вычисление значений функции y = f(x) при конкретных значениях х оказывается затруднительным. Один из эффективных приемов в этом случае – замена функции степенным многочленом (полиномом) вида: Pn(x – a) = C0 + C1(x – a) + C2(x – a)2 + … + Cn(x – a)n(1) значение которого при х = а равно значению функции f(а). Если функция y = f(x) дифференцируема (n + 1) раз в некоторой окрестности точки а, то коэффициенты Сi можно определить так: потребуем, чтобы в точке а выполнялись условия Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru, т.е. чтобы в точке а были равны значения соответствующих производных. Получим:

f(а)= C0; f `(a) = C1; f ``(a) = 2C2 = C2 ×2! …… ; f(n)(a) = Cn × n!

где n! = n(n –2)(n –3) … (n – k) … 3× 2× 1 (символ n! называется n – факториал). Отсюда легко находятся все Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru (3.29).

Подставив в (1) получим: Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru(3.30)

Очевидно, что совпадая при х = а, в других точках значения f(х) и Рn(x) отличаются. Обозначив это отличие через Rn(x) = f(x) – Pn(x) получим:

Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru (3.31)

Величину Rn(x) называют остаточным членом. Для значений х, при которых остаточный член мал, многочлен Рn(x) дает приближенное значение f(x). Оценить величину Rn(x) при различных х позволяет выражение

Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru, где a < x < x (3.32).

(Форма Лагранжа для остаточного члена). Величину x можно представить в виде: x = а + q(х – а), где 0 < q < 1 и тогда (3.32) примет вид

Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru (3.32`)

(Очевидно, что, если х расположено в достаточно малой окрестности а. величина Rn при достаточно большом n может быть достаточно мала, чтобы обеспечить требуемую точность).

Выражение (3.31), называется формулой Тейлора. Частный случай ее при а = 0 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru (3.31`)

где Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru , 0 < q < 1 называется формулой Маклорена. Используя правила дифференцирования, несложно получить разложения многих функций по формуле Маклорена. Приведем некоторые из них:

Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru (3.33)

Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru (3.34)

Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru (3.35)

Формула Тейлора может быть применена и для раскрытия неопределенностей вида Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru и Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru . Функции в числителе и знаменателе дроби «раскладываются» по формуле Тейлора и, после некоторых преобразований, предел вычисляется.

сокращается; все члены сумм в числителе и знаменателе содержание х (включая остаточные члены в (3.34) и (3.35)) в пределе равны нулю) = 1.
Пример: Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ( с учетом соотношений (3.34) и (3.35)) = Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru

Тесты

1.17. Выполняется ли теорема Ролля для функции Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru , если а= 0, в= 8? Если да, то при каком значении x?

1) Да: x = 2; 3) Да: x = 4;

2) Нет; 4) Да: x = 6.

1.18. В какой точке дуги АВ кривой Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru касательная параллельна хорде АВ, если А(0; 0), В(3; 18)?

1) С(3; 1); 2) D(2; Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ); 3) Е(0; Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ); 4) F( Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ; 0).

1.19. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru используя правило Лапиталя получим у =

1) Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ; 2) Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ; 3) Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru ; 4) Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru .

1.20. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru преобразовав и используя правило Лапиталя получим у=

1) –1; 2) 2; 3) –2; 4) 1.

1.21. Функция Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru представлена многочленом вида

Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru , где Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru и Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора - student2.ru

1) (1; 2; 3; 4); 2) (1; -1; 1; -1); 3) (1; -2; 3; -4); 4) (-1; 1; -1; 1).

Наши рекомендации