Аналітичний метод доведення нерівностей

Іноді може виявитися, що застосування розглянутих вище прийомів не приводить до потрібного результату, оскільки доведення нерівності за означенням може не бути реалізованим через громіздкість та складність перетворень, а синтетичний метод не вдається застосувати у зв’язку з тим, що не зрозуміло, з яких опорних нерівностей доцільно розпочати доведення. Одним з можливих варіантів у цьому випадку може бути застосування аналітичного методу.

Його суть полягає в тому, що після ряду перетворень нерівності, яку потрібно довести, отримують деяку очевидну вірну нерівність. На мові логіки ми реалізовуємо наступну схему такого пошуку:

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru ,

де Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru - нерівність, яку потрібно довести, Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru - отримані з неї нерівності, Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru - кінцева вірна нерівність. Реалізація такої схеми носить назву аналізу Евкліда. Природно, що відшукання нерівності Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru не може завершити доведення, оскільки імплікація Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru може бути вірною і у випадку, коли твердження Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru - хибне. Тому наступним етапом доведення повинно бути обґрунтування можливості здійснення зворотних міркувань, тобто істинності імплікацій

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Фактично тепер ми реалізовуємо схему синтетичного методу, причому початкова опорна нерівність цього методу (у нашому випадку – це твердження Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru ) відома.

Наведемо приклади подібних доведень.

Задача 1.3.1. Довести, що для довільних Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru виконується нерівність

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru

(задача 1.1.1, розв’язання якого тут реалізується іншим методом).

Доведення. Виконаємо наступні перетворення даної нерівності:

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru ,

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru ,

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Одержана нерівність вірна для довільних Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru . Тепер очевидно, що з неї можна одержати попередню нерівність, з якої в свою чергу – нерівність, що потрібно було довести.

Задача 1.3.2. Довести, що для довільних чисел Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru виконується нерівність

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Очевидно, що якщо Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru , то виконується рівність і твердження вірне. При Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru задача зводиться до доведення нерівності Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru або нерівності Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru , яка очевидна.

Інший спосіб доведення цієї нерівності, що використовує ідеї опуклості функції, буде наведено у розділі 2.5 (задача 2.5.2).

Задача 1.3.3. Довести, що для довільних Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru виконується нерівність Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Після піднесення до квадрату обох частин нерівності, маємо

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Отримуємо вірну нерівність Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru . Очевидно, що крім неї, вірними будуть і кожна з попередніх нерівностей.

Задача 1.3.4. Довести, що для довільних Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru виконується нерівність

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Піднесемо обидві частини нерівності до квадрату

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Звідси отримуємо

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Одержана нерівність відповідно до умови задачі вірна, і з неї тепер можна отримати всі попередні нерівності у зворотному порядку, а серед них – і задану.

Задача 1.3.5. Довести, що якщо Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru , то Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Знайдемо різницю правої та лівої частин:

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Тепер, використавши отриману нерівність в ролі початкової і рухаючись у зворотному порядку, отримуємо нерівність, яку потрібно було довести.

Задача 1.3.6. При яких значеннях параметра Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru нерівність

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru

виконується при довільних Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru ?

Розв’язання. Маємо

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Одержаний вираз буде додатним при довільних Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru , якщо Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Задача 1.3.7. Довести, що при Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru виконується нерівність

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Перетворимо нерівність до виду Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru , звідки, після піднесення до квадрату, отримуємо

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Очевидно, що одержана нерівність вірна, а також те, що можливе виконання перетворень у зворотному порядку. Це доводить задану нерівність.

Задача 1.3.8. Знайти найменше значення виразу Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Розв’язання. Перетворимо заданий вираз наступним чином:

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Тепер видно, що найменше значення виразу дорівнює 2 і досягається воно при Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .Фактично ми довели нерівність Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Задача 1.3.9.Довести нерівність Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Виконаємо наступні перетворення виразу:

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Одержаний вираз не може бути від’ємним, що доводить задану нерівність. Очевидно, що знак рівності буде тільки у випадку, коли Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Задача 1.3.10. Знайти найменше значення функції

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Розв’язання. Перетворимо вираз, перемножуючи два крайні та два середні множники:

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Очевидно, що значення функції буде найменшим, коли найменшим є перший доданок, тобто при тих значеннях Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru , які є коренями рівняння Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru . Знаходимо Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru . При знайдених значеннях

Аналітичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Наши рекомендации