Доведення нерівностей за допомогою означення

Роман Собкович, Наталія Кульчицька

Основні методи доведення нерівностей

Івано-Франківськ

ЗМІСТ

Вступ 4

Розділ 1. Основні традиційні методи доведень 7

1.1. Доведення нерівностей за допомогою означення 7

1.2. Синтетичний метод доведення нерівностей 10

1.3. Аналітичний метод доведення нерівностей 14

1.4. Доведення нерівностей методом від супротивного 18

1.5. Метод підсилення при доведенні нерівностей 20

1.6. Доведення нерівностей методом математичної індукції 26

1.7 Класичні нерівності між середніми та їх доведення 31

1.8. Наслідки з нерівності Коші та задачі на відшукання

найбільших та найменших значень 39

Розділ 2. Застосування властивостей функцій та методів

математичного аналізу 43

2.1. Оцінка областей визначення та множини значень. Монотонність. Екстремуми 43

2.2. Застосування властивостей квадратного тричлена 47

2.3. Застосування похідної 52

2.4. Застосування інтеграла 57

2.5. Застосування опуклості функції. Нерівність Єнсена 58

2.6. Нерівність Юнга 63

Розділ 3. Застосування методів аналітичної геометрії,

векторної алгебри, тригонометрії 65

3.1. Застосування методів аналітичної геометрії 65

3.2. Застосування методів векторної алгебри 68

3.3. Застосування тригонометрії 73

Розділ 4.Застосування деяких геометричних співвідношень

до доведення нерівностей 77

4.1. Геометричний спосіб доведення нерівностей між середніми 77

квадратичним, арифметичним, геометричним та гармонічним

4.2. Використання співвідношень між елементами геометричних фігур 79

Розділ 5. Нерівності в геометрії 85

5.1. Нерівність трикутника 85

5.2. Застосування векторів 87

5.3. Оцінка площі 89

5.4. Екстремальна властивість центра ваги 92

5.5. Дослідження екстремальних властивостей 93

5.6. Застосування похідної 96

Список використаної та рекомендованої літератури 100

Вступ

Поряд із традиційними для елементарної математики задачами відшукання коренів різного типу рівнянь та їх систем, розв’язків нерівностей, часто можна зустрітися з необхідністю оцінювати та порівнювати певні величини. Такими можуть бути як числові вирази, так і вирази, що містять змінні. В окремих випадках може виявитися, що такі вирази зв’язані між собою відношеннями Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru не для окремих множин допустимих значень змінних, а для всіх можливих таких наборів. Прикладами таких співвідношень можуть бути нерівності Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru та ін. У таких випадках говорять не про розв’язування, а про доведення нерівностей.

В процесі написання даного посібника ми ставили за мету описати основні методи розв’язування такого роду задач, тобто доведення нерівностей, а також продемонструвати їх ефективність при розв’язуванні різних вправ, значна частина яких носить олімпіадний характер.

Перш, ніж перейти до безпосереднього розгляду змісту, зробимо невелику екскурсію в історію математики.

Поняття «більше» та «менше» поряд з поняттями рівності виникли у зв’язку з необхідністю порівнювати різні величини. Поняттями нерівності користувалися ще древні греки. Зокрема ще Архімед (III ст. до н. е.), займаючись обчисленням довжини кола, встановив, що «периметр всякого круга дорівнює потроєному діаметру з надлишком, який менше сьомої частини діаметра, але більше десяти сімдесят перших». Інакше кажучи, Архімед вказав границі числа π: Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Добре відомі і перші геометричні нерівності: «перпендикуляр менший похилої, проведеної із одної і тієї ж точки до даної прямої», «сторона трикутника менша суми двох інших сторін», «проти більшого кута трикутника лежить більша сторона»). Вони належить ще древньогрецькій математиці і містилися в знаменитих «Началах» Евкліда.

Ряд нерівностей приводить у своєму знаменитому трактаті «Начала» Евклід. Він, наприклад, доводить, що середнє геометричне двох додатних чисел не більше їх середнього арифметичного, тобто, що вірна нерівність Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

У «Математичному збірнику» Паппа Олександрійського в III ст., доводиться: «Якщо Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru ( Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru - додатні числа), то Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru ». Однак всі ці міркування проводилися словесно, спираючись у більшості випадків на геометричну термінологію.

Зараз на мові нерівностей часто формулюються постановки задач в багатьох застосуваннях математики. Наприклад, багато економічних задач зводяться до дослідження систем лінійних нерівностей з великим числом змінних. Часто та чи інша нерівність служить важливим допоміжним засобом, основною лемою, яка дозволяє довести або заперечити існування якихось об’єктів (скажемо, розв’язків рівняння), оцінити їх кількість, провести класифікацію. Наприклад, щоб розв’язати рівняння

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru ,

потрібно побачити, що його ліва частина більша або рівна 2, а права – не більша 2, тобто скористатися нерівностями Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru та Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru . Рівність у наведеному прикладі можлива тільки у випадку, коли обидві частини рівняння приймають значення 2. А це буде виконуватися лише при Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

В наш час нерівності та системи нерівностей широко використовуються як в теоретичних дослідженнях, так і при розв’язуванні важливих практичних задач. Нерівності – це не тільки допоміжний інструмент. В кожній області математики - алгебрі і теорії чисел, геометрії і топології, теорії ймовірностей та теорії функцій, математичній фізиці і теорії диференціальних рівнянь, теорії інформації та дискретній математиці - можна вказати фундаментальні результати, сформульовані у виді нерівностей. Без них не може обійтися ні фізика, ні астрономія, ні хімія.

У багатьох розділах математики, особливо у математичному аналізі, в прикладній математиці, нерівності зустрічаються значно частіше, ніж рівняння. Скажемо, розв’язки якихось практично важливих рівнянь лише в дуже рідких випадках вдається знайти точно - у вигляді числа або формули, а для наближеного розв’язання в математиці завжди потрібно вказати оцінку похибки, тобто довести деяку нерівність.

Задачі, розв’язання яких достатньо складне без застосування класичних нерівностей, - часті гості на математичних олімпіадах школярів. Розв’язання задач такого типу традиційно являє собою послідовність достатньо простих міркувань. А ось логіка та ідеї всього ланцюжка цих елементарних ланок –міркувань виходить за рамки методів та прийомів шкільного курсу. Тим більше, що процес отримання і вивчення нерівностей та їх застосувань неформальний і трудно алгоритмізується.

Досить важливим питанням методики навчання є введення в програму профільного навчання теми «Доведення нерівностей». Відповідні задачі в основному розв’язуються алгебраїчним способом, який являється одним із кращих засобів розвитку самостійного, творчого мислення. З допомогою спеціально підібраних задач, які можуть зацікавити учнів своєю видимою простотою і тим, що їх розв’язок не відразу дається в руки, можна показати учням красу, простоту та стрункість логічних міркувань. Задачі на доведення нерівностей часто розв’язуються декількома способами. Це дає можливість звертати увагу учнів не тільки на найбільш раціональний, красивий спосіб розв’язання даної задачі, але і на ті способи, які можуть застосовуватися при розв’язуванні інших задач, а в деяких випадках виявляються єдиними.

Вважаємо, що даний посібник буде корисним для учнів, вчителів математики, а також для всіх, хто хоче самостійно підвищувати свій математичний рівень.

Розділ 1. Основні традиційні методи доведень нерівностей

Доведення нерівностей за допомогою означення

За означенням вважається, що Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru ( Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru ), якщо різниця Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru є додатним (від’ємним) числом. Тому для доведення нерівності Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru на заданій множині значень змінних Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru достатньо розглянути різницю Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru і показати, що вона додатна при заданих значеннях змінних Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru . Аналогічні міркування можна застосовувати для доведення нерівностей виду Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Наведемо приклади таких доведень.

Задача 1.1.1. Довести, що для довільних Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru виконується нерівність

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru (нерівність Коші).

Доведення. Розглянемо різницю Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru і покажемо, що вона не може бути від’ємною. Маємо

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Очевидно, що вираз Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru не може бути від’ємним при довільних невід’ємних значеннях Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru та Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru . Тому різниця Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru невід’ємна. Це означає, що Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru . Відмітимо, що знак рівності можливий тоді і тільки тоді, коли Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Задача 1.1.2. Довести, що Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Доведення. Утворимо різницю

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru

і покажемо, що вона додатна. Перегрупувавши доданки, дістаємо

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Очевидно, що одержаний вираз додатний при довільних значеннях Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru та Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru . Нерівність доведена.

Задача 1.1.3. Довести, що якщо Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , то Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Доведення. Перетворимо різницю Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru наступним чином:

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Оскільки за умовою Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , то одержаний вираз не може бути від’ємним. Це завершує доведення нерівності. Знак рівності можливий у випадках, коли Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru та Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Задача 1.1.4. Довести, що якщо Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , то Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Доведення. Маємо

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Задача 1.1.5. Довести, що для довільного Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru виконується нерівність

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Доведення. Маємо

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Цим самим нерівність доведена.

Задача 1.1.6. Довести, що якщо Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , то

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Доведення. Знаходимо

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Отже, якщо Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , то Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Задача 1.1.7. Довести нерівність Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru ( Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru - додатні числа).

Доведення. Маємо

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Зауважимо, що доведена нами нерівність використовується при доведенні інших нерівностей методом підсилення (див., наприклад, задачу 1.5.12).

Задача 1.1.8. Довести, що якщо Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , то Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Доведення. Маємо

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Згідно з умовою задачі перший множник одержаного виразу додатний, а два інші - від’ємні, тобто весь вираз додатний.

Задача 1.1.9. Довести нерівність Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Доведення. Доведення випливає з наступних перетворень:

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Знак рівності можливий лише у випадку, коли Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Задача 1.1.10. Довести, що якщо Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , то

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Доведення. Доведення випливає із наступних співвідношень:

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Задача 1.1.11. Довести нерівність Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Доведення. Виконаємо перетворення:

Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Оскільки Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru , а вираз Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru приймає тільки додатні значення (дискримінант даного квадратного тричлена відносно довільної змінної від’ємний), то нерівність доведена. Знак рівності можливий тоді і тільки тоді, коли Доведення нерівностей за допомогою означення - student2.ru .

Наши рекомендации