Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

1 Пусть дано уравнение .

Таким образом, для любой функции , заданной неявно имеет место тождество

,

справедливое для любого .

Пример. Найти производную функции .

Решение. Функция считается заданной неявно, если является тождеством относительно . При дифференцировании и следует рассматривать как сложные функции , а – промежуточный аргумент.

,

.

Производная неявной функции выражается как .

2 Параметрически заданная функция

(1)

где , любое значение соответствует и , когда изменяется в отрезке описывается некоторая линия.

Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями кривой, – параметром.

Предположим, что имеет обратную функцию , следовательно, , таким образом (1) определяют , и говорят, от задана параметрически.

Выражение получится исключением из (1).

Параметрическое задание кривых широко используется в механике. Если в движется точка, и известны законы движения проекций этой точки на оси координат

(1’)

где параметр – время,

то (1’) – уравнение траектории точки.

Окружность:

.

Астроида:

.

Предположим, что и имеют производные. имеет обратную функцию , которая также имеет производную, следовательно, , заданную параметрически, можно рассматривать как сложную функцию.

,

– промежуточный аргумент.

,

,

.

Пример. Найти производную функции, заданной параметрически

Решение.

,

,

.