Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий в трехшарнирной арке

Определение опорных реакций трехшарнирных арок

При действии внешней нагрузки на трехшарнирную арку (рис. 3,а) в каждой ее опоре возникает по две реакции — горизонтальная и вертикаль­ная; всего, таким образом, имеется четыре опорные реакции. Вертикальные реакции обозначим V_А и V_B.

Кроме трех уравнений равно­весия, которые дает статика для системы сил, расположенных в од­ной плоскости, для расчета трехшарнирной арки можно составить четвертое уравнение статики, осно­ванное на том, что изгибающий мо­мент в поперечном сечении арки, проведенном через средний шарнир С, равен нулю; следовательно, ра­вна нулю алгебраическая сумма моментов сил, действующих на ле­вую или правую часть арки отно­сительно точки С:

SМ_с ^лев =0; SМ_с^пр =0.

Из полученных четырех уравнений статики могут быть определены все опорные реакции.

Рекомендуется уравнения статики составлять такие и в такой последова­тельности, чтобы избежать совместного решения системы уравнений с не­сколькими неизвестными. Так, сначала можно составить уравнение SМ_В = 0 — суммы моментов всех сил относительно шарнира В (см. рис. 3), в которое войдет лишь одна опорная реакция V_A. После определения значе­ния V_A можно составить уравнение SМ_С = 0 — суммы моментов сил, действующих на левую часть арки, относительно шарнира С, в которое войдет уже известная реакция V_A и неизвестная реакция Н_А, из этого уравнения находим значение Н_А. Затем из уравнения SМ_А =0 — суммы моментов всех сил относительно шарнира А можно найти реакцию V_B, а из уравнения SМ_С = 0 – суммы моментов сил, действующих на правую часть арки, относительно шарнира С, в которое войдет известная реакция V_В и неизвестная реакция Н_В, из этого уравнения находим значение Н_В.

Рис. 3

Для проверки правильности полученных значений реакций рекомендуется затем убедиться в том, что они удовлетворяют условиям SY =0, SХ =0.

Определение изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в сечениях трехшарнирной арки

Рассмотрим трехшарнирную арку, нагруженную вертикальной нагрузкой. Наряду с аркой будем рассматривать балку с таким же пролетом и такой же нагрузкой.

Изгибающий момент в сечении «к» трехшарнирной арки равен сумме моментов сил, расположенных слева или справа от сечения, относительно центра тяжести сечения:

М_к = М_к⁰ – Н×у_к. (1)

Поперечная сила в сечениях трехшарнирной арки равна сумме проекций сил, расположенных по одну сторону от сечения, на плоскость сечения:

Q_к = Q_к⁰ cos𝜑 – H sin𝜑. (2)

Продольная сила в сечениях трехшарнирной арки равна сумме проекций сил, расположенных по одну сторону от сечения, на касательную к оси арки:

N_к = Q_к⁰ sin𝜑 + Н cos𝜑. (3)

Здесь М_к⁰ , Q_к⁰ – балочный изгибающий момент и поперечная сила в сечении «к» простой балки с тем же пролетом и нагрузкой; у_к – ордината сечения «к»; 𝜑 – угол между касательной и осью абцисс.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий в трехшарнирной арке

Расположим на трехшарнирной арке вертикальную силу Р=1 на расстоянии х от левой опоры и составим уравнения моментов всех сил относительно опорных шарниров:

SМ_В = V_A l – 1× (l – х)= 0; SМ_А = – V_В l + 1× х = 0;

Из этих уравнений найдем:

V_A = (l – х)/ l; V_В = х/ l.

Выражения V_A и V_В совпадают с выражениями опорных реакций, полученными для простой балки. Следовательно, линии влияния V_A и V_В ничем не отличаются от линий влияния опорных реакций простой балки на двух опорах.

Л.в. Н

Л.в. N_к

l/4f

Л.в. М_к Л.в. Q_к

Рис. 4. Построение л.в. М_к, Q_к, N_к

Распор Н определяется уравнением Н = М_С⁰/f, из которого следует, что линия влияния Н имеет такой же вид, как и линия влияния балочного момента М_С⁰, и отличается от нее лишь постоянным множителем 1/ f; в частном случае, когда l₁ = l₂ = l/2, ее ордината под шарниром С равна l/(4f).

В линейно деформируемых системах с линиями влияния можно производить простые арифметические действия сложения, вычитания и умножения на постоянную величину, как с обычными числами или векторами. Учитывая это, можно воспользоваться для построения линий влияния моментов, поперечных и продольных сил формулами 1, 2, 3.

В сечении «к» л. в. Q_к имеет скачок, равный cos𝜑_к, а л. в. N_к – скачок, равный sin𝜑_к.

Линии влияния усилий трехшарнирной арки показывают существенное отличие ее работы от балки. Так, ординаты л. в. М_к значительно меньше ординат М_к⁰, л. в. М_к двузначна и имеет между опорами нулевую точку; л. в. Q_к имеет также значительно меньшие ординаты, чем л. в. Q_к⁰. Кроме того, в отличие от балки появилась л. в. N_к, причем ее ординаты значительны и в промежутке между опорами при обычном очертании арки имеют постоянный знак сжатия.