Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий

Кинематическим способом

Линия влияния силового фактора (опорной реакции или внутреннего усилия) – это графическое изображение закона его изменения в зависимости от координаты точки приложения подвижной единичной сосредоточенной нагрузки.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.29

Для удобства сравнения результатов, вычисленных по линиям влияния и аналитическим способом, оставим принятую ранее нумерацию сечений расчетной схемы многопролетной балки без изменений, как показано на рис. 1.29. При этом указанные в задании сечения A и B совпадают соответственно с сечениями 1 и 3, которые договоримся использовать для дальнейших вычислений.

Порядок построения линии влияния силового фактора в заданном сечении

а) В расчетной схеме необходимо отбросить связь в направлении искомого силового фактора в заданном сечении. Таким образом, получаем геометрически изменяемую систему с одной степенью свободы.

б) В направлении отброшенной связи прикладывается единичная сосредоточенная нагрузка.

в) В точке приложения единичной нагрузки задаемся единичным перемещением и строим схему возможных перемещений для всей балки.

В связи с отсутствием нагрузок, действующих вдоль оси балки, пренебрегаем горизонтальными перемещениями узлов балки и опорных связей.

Определение значения силового фактора по линии влияния

Значение искомого силового фактора Z определяют методом загружения соответствующей линии влияния по формуле:

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , (1.1)

где Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – заданные нагрузки; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – площадь линии влияния на участке действия распределенной нагрузки Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – ордината под сосредоточенной силой Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru на соответствующей линии влияния; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – тангенс угла наклона линии влияния под внешним изгибающим моментом Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Правило знаков:

· Знак произведения Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – положительный, если распределенная нагрузка Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru направлена в сторону, противоположную расположению соответствующего участка на линии влияния относительно оси расчетной схемы.

· Знак произведения Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – положительный, если сосредоточенная сила Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru направлена в сторону, противоположную расположению ординаты под данной силой на линии влияния относительно оси расчетной схемы.

· Знак произведения Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – положительный, если направление изгибающего момента Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru является противоположным повороту участка балки под этим моментом на линии влияния относительно оси расчетной схемы.

5.1. Линии влияния вертикальных опорных реакций.

Алгоритм построения линии влияния вертикальной опорной реакции:

а) В заданной расчетной схеме необходимо отбросить вертикальную связь в
направлении искомой опорной реакции.

б) В направлении отброшенной связи прикладывается единичная сосредоточенная сила, направленная вдоль положительного направления оси Y (вверх).

в) В точке приложения единичной силы задаемся единичным перемещением и строим схему возможных перемещений по очереди для каждого диска балки.

5.1.1. Построение линии влияния и определение по ней значения опорной
реакции
Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ) в сечении 1(A).

В результате отбрасывания вертикальной связи в т. 1 вместо двухстержневой связи остается одностержневая, воспринимающая горизонтальные перемещения, но разрешающая вертикальные перемещения и поворот относительно этой точки диска 1–2. Прикладывание единичной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru в т. 1 приводит к вертикальному перемещению в направлении действия силы этой точки диска 1–2 на величину, равную 1 (рис. 1.30). Таким образом, на линии влияния опорной реакции Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru в т. 1 отложим вверх ординату, равную единице (рис. 1.31).

Для того чтобы узнать, как поведет себя т. 2 балки рассмотрим диск 2–5, имеющий на одном конце (т. 2) шарнир по моменту, а на другом (т. 5) – шарнир по поперечной силе (ползун), а также опирающийся по длине в т. 3 и 4 на одностержневые приставные вертикальные связи. Как известно, одностержневая приставная вертикальная связь воспринимает вертикальные перемещения диска в точке расположения опорной связи, но разрешает поворот диска относительно этой точки, поэтому диск 2–5 должен одновременно пройти через т. 3 и 4, что возможно только в одном случае, когда он не меняет своего положения. Значит, диск 2–5 останется на своем месте.

Следовательно, диск 1–2 повернется в шарнире по моменту (т. 2), который разрешает поворот относительно этой точки любого из двух соединенных им дисков, вследствие того, что т. 1 уже изменила свое первоначальное положение, а т. 2 осталась на прежнем месте.

Оставшиеся диск 5–6 и диск 6–7 также не изменят своего положения.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.30

Линия влияния имеет ненулевой участок лишь в пределах сосредоточенной силы, приложенной в т. 8 и равной Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru . Поэтому в соответствии с формулой
(1.1) необходимо вычислить ординату на линии влияния в этой точке ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ).

Из курса геометрии известно что, в подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны. Следовательно,

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru или Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ,

где Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – ординаты на линии влияния соответственно в т. 1 и 8;

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – длина диска 1–2; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – длина диска 8–2.

Подставляя полученные данные (рис. 1.31) в формулу (1.1), получим:

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ,

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с положительным знаком, так как сосредоточенная сила Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенная в т. 8, направлена вниз, а ордината Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru под этой силой на линии влияния расположена в верхней части.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.31

5.1.2. Построение линии влияния и определение по ней значения опорной
реакции
Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ) в сечении 3(B).

Прикладывание единичной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru в т. 3 приводит к вертикальному перемещению в направлении действия силы этой точки диска 2–5 на величину, равную 1 (рис. 1.32). Таким образом, на линии влияния опорной реакции Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru в т. 3 отложим вверх ординату, равную единице (рис. 1.33).

Рассмотрим диск 2–5, имеющий на одном конце (т. 2) шарнир по моменту, а на другом (т. 5) – шарнир по поперечной силе (ползун), а также опирающийся по длине в т. 4 на одностержневую приставную вертикальную связью. Как известно, одностержневая приставная вертикальная связь воспринимает вертикальные перемещения диска в точке расположения опорной связи, но разрешает поворот диска относительно этой точки, поэтому диск должен пройти через т. 4, а, зная ординату в т. 3, можно без труда построить перемещение диска 2–5 по двум точкам. Таким образом, т. 2 диска 2–5 окажется в верхней части линии влияния, а
т. 5 – в нижней части.

Рассмотрим диск 1–2, имеющий на одном конце (т. 1) шарнирно-неподвижную опору, разрешающую только поворот диска относительно этой точки, а на другом (т. 2) соединяющийся с диском 2–5 при помощи шарнира по моменту, который разрешает поворот относительно этой точки любого из двух дисков. Диск 1–2 повернется относительно т. 1 вследствие того, что т. 2 уже изменила свое первоначальное положение. Соединив т. 1 с уже построенной для диска 2–5 ординатой в
т. 2, получим перемещение диска 1–2.

Диск 6–7 не изменит своего положения благодаря подвижной заделке в т. 7, воспринимающей вертикальные перемещения и поворот диска относительно точки расположения опорной связи.

Рассмотрим диск 5–6, имеющий на одном конце (т. 5) шарнир по поперечной силе (ползун), разрешающий вертикальное перемещение в шарнире концов
соединяющихся в этой точке дисков, а на другом (т. 6) соединяющийся с
диском 6–7 при помощи шарнира по моменту, который разрешает поворот относительно этой точки любого из двух дисков. Диск 5–6 переместится параллельно диску 2–5*, т. е. т. 5 диска 5–6 будет располагаться в верхней части линии влияния, а т. 6 останется на прежнем месте (диск повернется в шарнире).

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.32

Линия влияния имеет ненулевые участки в пределах сосредоточенной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенной в т. 8, распределенной нагрузки q на участке 2–13 и изгибающего момента Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенного в т. 9.

В соответствии с формулой (1.1) необходимо вычислить:

1) ординаты на линии влияния по концам приложения распределенной нагрузки q ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ), и затем площадь на участке 2–13 между этими ординатами ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru );

2) ординату на линии влияния в точке приложения сосредоточенной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru );

3) тангенс угла наклона к оси балки линии влияния под изгибающим моментом Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ).

1) Зная ординату Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru на линии влияния в т. 3 и расстояние Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru между т. 3 и 4 можно найти Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , как отношение противолежащей стороны прямоугольного треугольника к прилежащей, т. е. Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Зная Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и длины участков Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru можно найти ординаты в т. 2 и 13:

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

На участке 2–13 линии влияния между ординатами Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru имеем трапецию, площадь которой находится как произведение полусуммы оснований на высоту, т. е.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

2) Из подобия треугольников следует, что

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru или Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ,

где Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – ординаты на линии влияния соответственно в т. 8 и 2;

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – длина диска 1–8; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – длина диска 1–2.

3) Диски 2–5 и 5–6 после перемещения останутся параллельными друг другу, поэтому Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru (соответственные углы при параллельных прямых), а значит Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Подставляя полученные данные (рис. 1.33) в формулу (1.1), получим:

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ,

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с положительным знаком, так как распределенная нагрузка Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенная на участке 2–13, направлена вниз, а соответствующий ей участок площадью Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru на линии влияния расположен в верхней части;

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с положительным знаком, так как сосредоточенная сила Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенная в т. 8, направлена вниз, а ордината Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru под этой силой на линии влияния расположена в верхней части;

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с положительным знаком, так как внешний изгибающий момент Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенный в т. 9, действует против часовой стрелки, а диск 5–6 под этим моментом поворачивается относительно оси балки по часовой стрелке.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.33

5.2. Линии влияния усилий – изгибающих моментов в заданном сечении.

Алгоритм построения линии влияния внутреннего изгибающего момента:

а) В расчетной схеме необходимо врезать шарнир по моменту в заданном сечении, в результате чего диск, которому принадлежит это сечение, разделяется на два диска.

б) На каждый из двух полученных дисков в заданном сечении прикладываем по единичному моменту.

в) Сумму углов, образованных в результате поворота полученных дисков относительно оси балки под действием единичных моментов, приравниваем единице и строим схему возможных перемещений по очереди для каждого диска балки.

5.2.1. Построение линии влияния и определение по ней значения изгибающего момента Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru в сечении K.

В сечении K прикладываем на диск 2–K единичный момент против часовой стрелки, а на диск K–5 – по часовой стрелке (рис. 1.34). В результате этого врезанный шарнир по моменту в сечении K должен переместиться вверх, но при условии, что оба диска 2–K и K–5 могут одновременно повернуться в шарнире.

Для начала рассмотрим диск 2–K, имеющий по концам (т. 2 и K) шарниры по моменту и опирающийся по длине в т. 3 на одностержневую приставную вертикальную связь, разрешающую поворот диска относительно этой точки. Предположим, что в т. K диск 2–K переместится вверх под действием единичного момента, при этом он должен пройти через т. 3. Отсюда по двум точкам можно построить перемещение диска 2–K. В этом случае т. 2 диска 2–K окажется в нижней части линии влияния.

Теперь рассмотрим диск K–5, имеющий на одном конце (т. K) шарнир по моменту, а на другом (т. 5) – шарнир по поперечной силе (ползун), а также опирающийся по длине в т. 4 на одностержневую приставную вертикальную связь,
разрешающую поворот диска относительно этой точки. Предположим, что в т. K диск K–5 переместится вверх под действием единичного момента, при этом он должен пройти через т. 4. Отсюда по двум точкам можно построить перемещение диска K–5. Таким образом, т. 5 диска K–5 переместится вниз.

Так как оба диска 2–K и K–5 могут одновременно повернуться (изменить свое первоначальное положение), то врезанный шарнир по моменту в сечении K действительно переместится вверх, а диски 2–K и K–5 займут положения, описанные выше.

Рассмотрим диск 1–2, имеющий на одном конце (т. 1) шарнирно-неподвижную опору, разрешающую поворот диска относительно этой точки, а на другом (т. 2) соединяющийся с диском 2–K при помощи шарнира по моменту,
который разрешает поворот относительно этой точки любого из двух дисков.
Диск 1–2 повернется относительно т. 1 вследствие того, что т. 2 уже изменила свое первоначальное положение. Соединив т. 1 с уже отложенной для диска 2–K ординатой в т. 2, построим перемещение диска 1–2.

Диск 6–7 не изменит своего положения благодаря подвижной заделке в т. 7, воспринимающей вертикальные перемещения и поворот диска относительно точки расположения опорной связи.

Рассмотрим диск 5–6, имеющий на одном конце (т. 5) шарнир по поперечной силе (ползун), разрешающий вертикальное перемещение в шарнире концов
соединяющихся в этой точке дисков, а на другом (т. 6) соединяющийся с
диском 6–7 при помощи шарнира по моменту, который разрешает поворот относительно этой точки любого из двух дисков. Диск 5–6 должен переместиться параллельно диску K–5 (см. * на стр. 24), т. е. т. 5 диска 5–6 будет располагаться в верхней части линии влияния, а т. 6 останется на прежнем месте (диск повернется в шарнире).

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.34

Линия влияния имеет ненулевые участки в пределах сосредоточенной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенной в т. 8, распределенной нагрузки q на участке 2–13 и изгибающего момента Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенного в т. 9.

В соответствии с формулой (1.1) необходимо вычислить:

1) ординаты на линии влияния по концам приложения распределенной нагрузки q ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ), и затем площадь на участке 2–13 между этими ординатами ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru );

2) ординату на линии влияния в точке приложения сосредоточенной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru );

3) тангенс угла наклона к оси балки линии влияния под изгибающим моментом Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ).

1) В соответствии с п. 5.2в: Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Пусть Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , тогда Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru . Зная расстояния Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru между т. 3 и K и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru между т. K и 4, а также, принимая Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru **, найдем ординату Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru на линии влияния в т. K, как произведение тангенса угла наклона на прилежащую сторону прямоугольного треугольника, т. е.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Таким образом, Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Зная Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и длины участков Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru можно найти ординаты в т. 2 и 13:

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

На участке 2–13 между ординатами Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru имеем два треугольника (один треугольник расположен в нижней части на участке 2–3, а другой – в верхней части на участке 3–13), площадь каждого из них находится как половина произведения основания на высоту, т. е.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

2) Из подобия треугольников следует, что

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru или Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ,

где Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – ординаты на линии влияния соответственно в т. 8 и 2;

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – длина диска 1–8; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – длина диска 1–2.

3) Диски K–5 и 5–6 после перемещения останутся параллельными друг другу, поэтому Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru (соответственные углы при параллельных прямых), а значит Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Подставляя полученные данные (рис. 1.35) в формулу (1.1), получим:

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с отрицательным знаком, так как распределенная нагрузка Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенная на участке 2–3, направлена вниз, а соответствующий ей участок площадью Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru на линии влияния расположен в нижней части;

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с положительным знаком, так как распределенная нагрузка Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенная на участке 3–13, направлена вниз, а соответствующий ей участок площадью Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru на линии влияния расположен в верхней части;

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с отрицательным знаком, так как сосредоточенная сила Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенная в т. 8, направлена вниз, а ордината Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru под этой силой на линии влияния расположена в нижней части;

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с положительным знаком, так как внешний изгибающий момент Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенный в т. 9, действует против часовой стрелки, а диск 5–6 под этим моментом поворачивается относительно оси балки по часовой стрелке.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.35

5.2.2. Построение линии влияния и определение по ней значения изгибающего момента Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru в сечении S.

Итак, в сечении S прикладываем на диск 6–S единичный момент против часовой стрелки, а на диск S–7 – по часовой стрелке (рис. 1.36).

Диск S–7 не изменит своего положения благодаря подвижной заделке в т. 7, воспринимающей вертикальные перемещения и поворот диска относительно точки расположения опорной связи. Следовательно, врезанный шарнир в сечении S останется на месте.

Рассмотрим диск 6–S, имеющий по концам (т. 6 и S) шарниры по моменту. Под действием единичного момента, направленного против часовой стрелки, т. 6 диска 6–S переместится вниз. Таким образом, диск 6–S повернется в шарнире
(т. S).

Рассмотрим диск 2–5, имеющий на одном конце (т. 2) шарнир по моменту, а на другом (т. 5) – шарнир по поперечной силе (ползун), а также опирающийся по длине в т. 3 и 4 на одностержневые приставные вертикальные связи. Как известно, одностержневая приставная вертикальная связь воспринимает вертикальные перемещения диска в точке расположения опорной связи, но разрешает поворот диска относительно этой точки, поэтому диск 2–5 должен одновременно пройти через т. 3 и 4, что возможно только в одном случае, когда он не меняет своего положения. Значит, диск 2–5 останется на своем месте.

Рассмотрим диск 5–6, имеющий на одном конце (т. 5) шарнир по поперечной силе (ползун), разрешающий вертикальное перемещение в шарнире концов соединяющихся в этой точке дисков, а на другом (т. 6) соединяющийся с диском
6–S при помощи шарнира по моменту, который разрешает поворот относительно этой точки любого из двух дисков. Диск 5–6 должен переместиться параллельно диску 2–5 (см. * на стр. 24). Следовательно, при условии, что диск 5–6 в т. 5 может перемещаться только в вертикальном направлении, и т. 6 переместилась вниз, данный диск сместится вниз параллельно своему первоначальному положению.

Диск 1–2 также как диск 2–5 не изменит своего положения.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.36

Линия влияния имеет ненулевые участки в пределах изгибающего момента Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенного в т. 9 и сосредоточенной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенной в т. 14.

В соответствии с формулой (1.1) необходимо вычислить:

1) ординату на линии влияния в точке приложения сосредоточенной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru );

2) тангенс угла наклона к оси балки линии влияния под изгибающим моментом Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ).

1) В соответствии с п. 5.2в: Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , так как из двух дисков 6–S и S–7 повернулся лишь первый, а второй не изменил своего положения.

Зная расстояние Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru между т. 14 и S, а также, принимая Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru (см. ** на стр. 27), найдем ординату Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru на линии влияния в т. 14, как произведение тангенса угла наклона на прилежащую сторону прямоугольного треугольника, т. е.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

2) Так как участок 5–6 на линии влияния под изгибающим моментом Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru параллелен оси балки, то Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru . Поэтому при определении значения изгибающего момента Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru в сечении S произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru учитывать не будем, поскольку оно равно нулю.

Подставляя полученные данные (рис. 1.37) в формулу (1.1), получим:

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ,

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с отрицательным знаком, так как сосредоточенная сила Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенная в т. 10, направлена вниз, а ордината Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru под этой силой на линии влияния расположена в нижней части.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.37

5.3. Линии влияния усилий – поперечных сил в заданном сечении.

Алгоритм построения линии влияния поперечной силы:

а) В расчетной схеме необходимо врезать шарнир по поперечной силе (ползун) в заданном сечении, в результате чего диск, которому принадлежит это сечение, разделяется на два диска.

б) На каждый из двух полученных дисков в заданном сечении прикладываем по вертикальной единичной силе.

в) В заданном сечении расстояние между крайними точками полученных дисков после их возможных перемещений под действием единичных сил приравниваем единице и строим схему возможных перемещений по очереди для каждого диска балки.

5.3.1. Построение линии влияния и определение по ней значения поперечной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru в сечении K.

Итак, в сечении K прикладываем на диск 2–K единичную силу, направленную вниз, а на диск K–5 единичную силу, направленную вверх (рис. 1.38). В результате этого т. K диска 2–K должна переместиться вниз, а т. K диска K–5 должна переместиться вверх, но при условии, что диски 2–K и K–5 могут изменить свое первоначальное положение.

Для начала рассмотрим диск 2–K, имеющий на одном конце (т. 2) шарнир по моменту, а на другом (т. K) – шарнир по поперечной силе (ползун), а также опирающийся по длине в т. 3 на одностержневую приставную вертикальную связь, разрешающую поворот диска относительно этой точки. Предположим, что в
т. K диск 2–K переместится вниз под действием единичной силы, при этом он должен пройти через т. 3. Отсюда по двум точкам можно построить перемещение диска 2–K. В этом случае т. 2 диска 2–K окажется в верхней части линии влияния.

Рассмотрим диск K–5, имеющий по концам (т. K и 5) шарниры по поперечной силе (ползуны), а также опирающийся по длине в т. 4 на одностержневую приставную вертикальную связь, разрешающую поворот диска относительно этой точки. Предположим, что в т. K диск K–5 переместится вверх под действием единичной силы, при этом он должен пройти через т. 4. Отсюда по двум точкам можно построить перемещение диска K–5. Таким образом, т. 5 диска K–5 переместится вниз. При этом диски 2–K и K–5 после перемещения должны остаться параллельными друг другу (см. * на стр. 24).

Поскольку диски 2–K и K–5 могут повернуться, т. е. изменить свое первоначальное положение, то т. K диска 2–K действительно переместится вниз, а т. K диска K–5 переместится вверх, а значит, диски 2–K и K–5 займут положения, описанные выше.

Рассмотрим диск 1–2, имеющий на одном конце (т. 1) шарнирно-неподвижную опору, разрешающую поворот диска относительно этой точки, а на другом (т. 2) соединяющийся с диском 2–K при помощи шарнира по моменту, который разрешает поворот относительно этой точки любого из двух дисков. Диск 1–2 повернется относительно т. 1 вследствие того, что т. 2 уже изменила свое первоначальное положение. Соединив т. 1 с уже отложенной для диска 2–K ординатой в т. 2, получим перемещение диска 1–2.

Диск 6–7 не изменит своего положения благодаря подвижной заделке в т. 7, воспринимающей вертикальные перемещения и поворот диска относительно точки расположения опорной связи.

Рассмотрим диск 5–6, имеющий на одном конце (т. 5) шарнир по поперечной силе (ползун), разрешающий вертикальное перемещение в шарнире концов
соединяющихся в этой точке дисков, а на другом (т. 6) соединяющийся с
диском 6–7 при помощи шарнира по моменту, который разрешает поворот относительно этой точки любого из двух дисков. Диск 5–6 должен переместиться параллельно диску K–5 (см. * на стр. 24), т. е. т. 5 диска 5–6 будет располагаться в верхней части линии влияния, а т. 6 останется на прежнем месте (диск повернется в шарнире).

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.38

Линия влияния имеет ненулевые участки в пределах сосредоточенной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенной в т. 8, распределенной нагрузки q на участке 2–13 и изгибающего момента Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенного в т. 9.

В соответствии с формулой (1.1) необходимо вычислить:

1) ординаты на линии влияния по концам приложения распределенной нагрузки q ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ), и затем площадь на участке 2–13 между этими ординатами ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru );

2) ординату на линии влияния в точке приложения сосредоточенной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru );

3) тангенс угла наклона к оси балки линии влияния под изгибающим моментом Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ).

1) В соответствии с п. 5.3в: Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Пусть Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , тогда Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru . Зная расстояния Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru между т. 3 и K и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru между т. K и 4, для двух подобных прямоугольных треугольников можно записать:

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru или Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Таким образом, Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Зная ординату Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru на линии влияния и расстояние Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru можно найти Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , как отношение противолежащей стороны прямоугольного треугольника к прилежащей, т. е. Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Зная Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и длины участков Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru можно найти ординаты в т. 2 и 13:

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Найдем площадь на участке 2–13 между ординатами Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru . На участке
2–13 мы имеем два треугольника (один треугольник расположен в верхней части на участке 2–3, а другой – в нижней части на участке 3–13), площадь каждого из них находится как половина произведения основания на высоту, т. е.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

2) Из подобия треугольников следует, что

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru или Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ,

где Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – ординаты на линии влияния соответственно в т. 8 и 2;

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – длина диска 1–8; Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru – длина диска 1–2.

3) Диски 2–K, K–5 и 5–6 после перемещения останутся параллельными друг другу, поэтому Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( соответственные углы при параллельных прямых), а значит Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

Подставляя полученные данные (рис. 1.39) в формулу (1.1), получим:

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с положительным знаком, так как распределенная нагрузка Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенная на участке 2–3, направлена вниз, а соответствующий ей участок площадью Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru на линии влияния расположен в верхней части;

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с отрицательным знаком, так как распределенная нагрузка Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенная на участке 3–13, направлена вниз, а соответствующий ей участок площадью Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru на линии влияния расположен в нижней части;

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с положительным знаком, так как сосредоточенная сила Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенная в т. 8, направлена вниз, а ордината Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru под этой силой на линии влияния расположена в верхней части;

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с положительным знаком, так как внешний изгибающий момент Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенный в т. 9, действует против часовой стрелки, а диск 5–6 под этим моментом поворачивается относительно оси балки по часовой стрелке.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.39

5.3.2. Построение линии влияния и определение по ней значения поперечной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru в сечении S.

Итак, в сечении S прикладываем на диск 6–S единичную силу, направленную вниз, а на диск S–7 единичную силу, направленную вверх (рис. 1.40).

Диск S–7 не изменит своего положения благодаря подвижной заделке в т. 7, воспринимающей вертикальные перемещения и поворот диска относительно точки расположения опорной связи. Следовательно, врезанный шарнир в сечении S останется на месте.

Рассмотрим диск 6–S, имеющий на одном конце (т. 6) шарнир по моменту,
а на другом (т. S) – шарнир по поперечной силе (ползун). Так как, во-первых,
диск 6–S в т. S может перемещаться только в вертикальном направлении, во-вторых, в т. S на диск 6–S действует единичная сила, направленная вниз, и, наконец, диск 6–S должен переместиться параллельно диску S–7 (см. * на стр. 24), то следовательно, диск 6–S сместится вниз параллельно своему первоначальному положению.

Рассмотрим диск 2–5, имеющий на одном конце (т. 2) шарнир по моменту, а на другом (т. 5) – шарнир по поперечной силе (ползун), а также опирающийся по длине в т. 3 и 4 на одностержневые приставные вертикальные связи. Как известно, одностержневая приставная вертикальная связь воспринимает вертикальные перемещения диска в точке расположения опорной связи, но разрешает поворот диска относительно этой точки, поэтому диск 2–5 должен одновременно пройти через т. 3 и 4, что возможно только в одном случае, когда он не меняет своего положения. Значит, диск 2–5 останется на своем месте.

Рассмотрим диск 5–6, имеющий на одном конце (т. 5) шарнир по поперечной силе (ползун), разрешающий вертикальное перемещение в шарнире концов соединяющихся в этой точке дисков, а на другом (т. 6) соединяющийся при помощи шарнира по моменту с диском 6–S. Диск 5–6 должен переместиться параллельно диску 2–5 (см. * на стр. 24). Следовательно, при условии, что диск 5–6 в т. 5 может перемещаться только в вертикальном направлении, и т. 6 переместилась вниз, диск 5–6 сместится вниз параллельно своему первоначальному положению.

Диск 1–2 также как диск 2–5 не изменит своего положения.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.40

Линия влияния имеет ненулевые участки в пределах изгибающего момента Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенного в т. 9 и сосредоточенной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенной в т. 14.

В соответствии с формулой (1.1) необходимо вычислить:

1) ординату на линии влияния в точке приложения сосредоточенной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru );

2) тангенс угла наклона к оси балки линии влияния под изгибающим моментом Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ( Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ).

1) В соответствии с п. 5.3в: Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , так как в сечении S под действием единичных сил из двух дисков 6–S и S–7 переместился лишь первый.

Так как диски 5–6 и 6–S одновременно переместились параллельно оси балки, следовательно, на участке 5–S будем иметь одинаковую ординату, равную 1. Отсюда Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru .

2) Так как участок 5–6 на линии влияния под изгибающим моментом Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru параллелен оси балки, то Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru . Поэтому при определении значения поперечной силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru в сечении S произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru не будем учитывать, поскольку оно равно нулю.

Подставляя полученные данные (рис. 1.41) в формулу (1.1), получим:

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ,

· произведение Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru взято с отрицательным знаком, так как сосредоточенная сила Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , приложенная в т. 14, направлена вниз, а ордината Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru под этой силой на линии влияния расположена в нижней части.

Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru

Рис. 1.41

В заключении необходимо отметить, что опорные реакции Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и внутренние усилия (изгибающие моменты Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru и поперечные силы Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru , Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий - student2.ru ), вычисленные по линиям влияния, соответствуют результатам, полученным ранее аналитическим способом[*].



* При любых вариантах перемещений дисков, располагающихся по обеим сторонам ползуна, эти диски всегда должны оставаться параллельными друг другу.

** При определении значения силового фактора по линии влияния тангенс малого угла можно принять равным значению самого угла, т. е. .

[*] Вычисленный по линии влияния положительный изгибающий момент в заданном сечении соответствует варианту аналитического расчета, когда растянутые волокна поперечного сечения расположены понизу балки (РВ/Н).

Наши рекомендации