Определение расчетных усилий в балках методом линий влияния

Метод линий влияния принят при расчете балок, ферм, рамных конструкций и особенно при расчете мостовых, крановых и других инженерных сооружений с подвижной нагрузкой.

Линия влияния выражает зависимость усилия (или деформации) в каком-либо заданном сечении балки или элементе фермы от положения груза на них. В практических расчетах их всегда строят от одного груза, равного единице, и после этого построения используют для определения усилий (или деформаций) в изучаемом сечении или элементе при любом заданном загружении от нескольких сосредоточенных сил или распределенных нагрузок.

Линии влияния опорной реакции в однопролетной балке с шарнирными опорами.

Линия влияния опорной реакции балки выражает зависимость величины реакции от положения груза, равного единице, на балке.

Рис. 8.1 К построению линии влияния опорных реакций и моментов в разных сечениях балки цифрами на рис д—з указаны наибольшие моменты в сечениях 0,5L, 0,4L и т д.

Обозначим расстояние груза до левой опоры через х, пролет балки—через L (Рис. 8.1, а).

Реакция

Реакция А определяется уравнением наклонной прямой (Рис. 8.1, б):

при х = 0 : А = 1:

при х = L : А = 0;

Подобным же образом строится линия влияния реакции В (Рис. 8.1, б).

Линии влияния изгибающего момента М.

Линия влияния изгибающего момента М выражает зависимость величины момента в заданном сечении от положения груза, равного единице, на балке.

Допустим, что груз находится справа на расстоянии x от опоры (Рис. 8.1, б).

При этом изгибающий момент равен:

Построим линию влияния момента М (Рис. 8.1, а) из условия, что

при х = 0 : Мa = 1·а;

при х = L : Мa = 0.

Так как было сделано предположение, что груз находится справа от сечения а, то построенная прямая верна лишь на участке x≥а.

Допустим, что груз находится слева на расстоянии а от опоры.

Изгибающий момент целесообразно выразить в этом случае через величину правой опорной реакции

где В—опорная реакция на правой опоре.

При х = 0 : Ма = 0;

при х = L : Мa = L-a.

Так как было предположено, что груз находится слева от сечения а, то построенная прямая верна лишь на участке х≤а.

Подобным образом линии влияния М строятся для разных сечений балки. Ординаты линий влияния М имеют размерность длины.

Линия влияния поперечной силы Q выражает зависимость

величины поперечной силы в заданном сечении а от положения груза, равного единице, на балке.

Допустим, что груз находится справа от сечения а (Рис. 8.2 , а)

Прямая верна на участке x≥а.

Допустим, что груз находится слева от сечения а. При этом

при х = 0 : = 0;

при х = I : = - 1.

Рис. 8.2 К построению линий влияния поперечной силы в балках.

Эта линия верна на участке х≤а, под исследуемым сечением она меняет знак.

Ординаты линий влияния безразмерны.

Использование линий влияния для определения усилий от системы сосредоточенных сил Р и равномерно распределенной нагрузки q.

Построенной линией влияния пользуются для определения усилия в заданном сечении балки от различной комбинации сосредоточенных и сплошных нагрузок.

Предположим, что для сечения на расстоянии а балки построена линия влияния некоторого усилия R, имеющая вид, показанный на Рис. 8.3,а.

Балка нагружена сосредоточенными силами , , и равномерной нагрузкой q; на участке L—а.

Рис. 8.3 Определение усилий от Р и q на основе построенных линий влияния: а) общее положение; б), в) к численному примеру расчета

Ординаты линии влияния под силами , , обозначим соответственно , , .

Пользуясь принципом независимости действия сил, находим усилие в сечении

= + + =Σ

( 8.1)

Усилие от равномерной нагрузки найдем, заменив сосредоточенную нагрузку бесконечно большим количеством бесконечно малых сосредоточенных сил

(8.11)

где Ω — площадь линии влияния на длине загруженного участка.

Полное усилие:

R=ΣPiyi+qΩ

(8.12)

R выражает собой продольную силу N, поперечную силу Q, момент М и т. д., в зависимости от построения линий влияния.