Ряд а) расходится, ряд в) сходится

ряд А) расходится, ряд В) расходится

ряд А) сходится, ряд В) сходится

ряд А) сходится, ряд В) расходится

Решение:
Ряд расходится, так как
Для исследования сходимости знакочередующегося ряда применим признак сходимости Лейбница. Тогда
1) вычислим предел
2) для любого натурального справедливо то есть последовательность монотонно убывает.
Следовательно, ряд сходится.

6. Сумма числового ряда равна …

- правильно

Решение:
Представим общий член этого ряда в виде суммы простейших дробей
и вычислим n-ую частичную сумму ряда:

Тогда

Тема 19: Область сходимости степенного ряда
1. Область сходимости степенного ряда имеет вид …

- правильно

Решение:
Вычислим предварительно радиус сходимости этого ряда по формуле где Тогда Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид или
Для того чтобы найти область сходимости степенного ряда, исследуем сходимость ряда в граничных точках.
В точке ряд примет вид Данный ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда:

В точке получаем знакочередующийся ряд для которого то есть ряд расходится.
Таким образом, область сходимости ряда имеет вид

2. Радиус сходимости степенного ряда равен …

- правильно

Решение:
Радиус сходимости этого ряда можно найти по формуле где
Тогда

3. Радиус сходимости степенного ряда равен …

- правильно

Решение:
Радиус сходимости этого ряда можно найти по формуле где Тогда

4. Интервал сходимости степенного ряда имеет вид …

- правильно

Решение:
Вычислим предварительно предел где а именно
Тогда и интервал сходимости ряда имеет вид или

5. Для степенного ряда вычислен предел Тогда интервал сходимости данного ряда имеет вид …

- правильно

Решение:
Интервал сходимости данного ряда определяется как где Тогда интервал сходимости данного ряда определяется как или

6. Интервал сходимости степенного ряда имеет вид …

- правильно

Решение:
Вычислим предварительно радиус сходимости этого ряда по формуле где
Тогда

Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид или

7. Радиус сходимости степенного ряда равен …

- правильно

Тема 20: Ряд Тейлора (Маклорена)
1. Если то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …

- правильно

Решение:
Так как коэффициенты данного ряда Тейлора вычисляются по формуле то вычислим последовательно производные:

Тогда

2. Разложение в ряд по степеням функции имеет вид …

- правильно

3. Если то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …

– 8

– 16

– 4

Решение:
Так как коэффициенты данного ряда Тейлора вычисляются по формуле то вычислим последовательно производные:
.
Тогда

4. Если то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …

5. Ряд Маклорена для функции имеет вид …

- правильно

Решение:
Так как ряд Маклорена для функции имеет вид
то

при

6. Если то коэффициент разложения данной функции в ряд Маклорена равен …

– 10

– 6

Решение:
Так как разложение в ряд Маклорена функции имеет вид
то или, учитывая, что получаем

7. Если то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …

- правильно

Решение:
Так как коэффициенты данного ряда Тейлора вычисляются по формуле то вычислим последовательно производные:

Тогда

Тема 21: Типы дифференциальных уравнений
1. Уравнение является …

Уравнением Бернулли

линейным дифференциальным уравнением первого порядка

дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка

Решение:
Уравнение может быть сведено к уравнению вида где В данном случае Следовательно, данное уравнение является уравнением Бернулли.

2. Уравнение является …

Уравнением Бернулли

линейным дифференциальным уравнением первого порядка

дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка

3. Уравнение является …