Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері.

Дәріс.

Дәріс тақырыбы:Матрицалар және анықтауыштар.

Дәріс жоспары:

§ Матрицалар.

§ Матрицаларға амалдар қолдану.

§ Матрицаларға қолданылатын амалдар қасиеттері.

§ Анықтауыштар.

§ Анықтауыштыңқасиеттері.

§ Әдебиеттер.

§ Бақылау сұрақтары.

Матрица деп, m- жол және n- бағаннан тұратын сандар немесе әріптерден құрылған тік бұрышты кестені айтады.

Матрица латынның үлкен әріптерімен белгіленеді A,B,C,… және былай жазылады:

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

немесе қысқаша Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , мұндағы Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru (яғни Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru ) – жолдың нөмірі, Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru (яғни Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru ) – бағанның нөмірі.

А матрицасын Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru өлшемді матрица дейді және оны Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп жазады. Матрицаны құрайтын Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru сандарын сол матрицаның элементтері дейді. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru элементтері бас диагоналді құрайды. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru - Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru - өлшемді матрица.

Бір жолдан тұратын матрицаны жол-матрица дейді. Бір бағаннан тұратын матрицаны баған-матрица дейді. Егер матрицаның жолдарының саны бағандарының санына тең болса, ондай матрицаны квадрат матрицадейді. Оның өлшемі Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru болады.

Егер квадрат матрицаның бас диагональдан тыс элементтері нөлге тең болса, онда ондай матрицаны диагональ матрица дейді.

Егер диагональ матрицаның бас диагоналі бір сандарынан тұрса, онда ондай матрицаны бірлік матрица дейді және оны Е деп белгілейді.

Егер квадрат матрицаның бас диагоналінің бір жағына орналасқан элементтері түгелдей нөлге тең болса, онда оны үшбұрышты матрица дейді.

Егер матрицаның барлық элементтері нөлге тең болса, онда ондай матрицаны

нөлдік матрица дейді. Мысалы. а) квадрат; б) диагональ; в) бірлік; г) нөлдік матрицалар:

а) Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru ; б) Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru ; в) Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru ; г) Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru .

А матрицасының жолдарын сәйкес бағандар етіп алмастырғаннан пайда болған матрицаны транспонирленген матрица деп атайды және оны Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгілейді. Транспонирлеу амалының қасиеттері: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

1-мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Матрицаларға амалдар қолдану.Қосу амалы амалы өлшемдері бірдей матрицалар үшін ғана енгізіледі. Екі Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru және Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицаларының қосындысы деп, элементтері

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru болатын Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицасын айтады және оны Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгілейді.

2-мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицасын Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru санына көбейту деп әрбір элементі Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru болатын Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицасын айтады.

3-мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru -А=(-1)А матрицасын А матрицасына қарама-қарсы матрица деп атайды. Олай болса, матрицалардың айырымын былай анықтауға болады: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Матрицаларды қосу және матрицаны санға көбейту амалдарының қасиеттері:

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

мұндағы Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицалар, Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru және Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru - сандар.

Екі матрицаны көбейту амалы бірінші матрицаның бағандарының саны екінші матрицаның жолдарының санына тең болғанда ғана енгізіледі. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицасының Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицасына көбейтіндісі деп элементтері

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

болатын Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицасын айтады. Схемалық түрде былай көрсетуге болады:

 
  Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

4-мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , осыдан Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Егер Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru болса, онда А және В матрицалары алмастырылатын матрицалар деп аталады.

Матрицаларды көбейту амалының қасиеттері:

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Анықтауыштар.Анықтауыш сатылы түрде анықталады.

1) Кезкелген сан бірінші ретті анықтауыш.

2) Өлшемділігі 2-ге тең квадрат матрица Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru үшін Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru саны (мұндағы Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru - нақты сандар) А матрицасының анықтауышы немесе 2-ші ретті анықтауыш деп аталады және ол Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгіленеді. Сонымен

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

5-мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

3) Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru - 3-ші ретті матрица болсын.

А матрицасының анықтауышы немесе 3-ші ретті анықтауышы деп, төменгі формуламен есептелінетін санды айтады:

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru .

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Бұл формуланы жеңіл есте сақтау үшін алғашқы оң таңбалы үш қосылғышты Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru схемасы бойынша, ал қалған үш теріс таңбалы қосылғыштарды схемасы бойынша есептелетіндігін ескеру қажет.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru 4) Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru квадрат матрицасының Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru элементінің миноры деп, осы элемент орналасқан жол мен бағанды сызып тастағаннан шығатын 3-ші ретті анықтауышты айтады және оны Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгілейді. Ал Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru саны Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru элементінің алгебралық толықтауышы деп аталады. Онда Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru саны 4-ші ретті анықтауыш деп аталады және ол Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru түрінде белгіленеді. Дәл осылай 5-ретті анықтауыш анықталады:

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru (1.1)

Осылайша кезкелген Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru -ші ретті анықтауышты Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru -ші ретті анықтауыштар арқылы анықтаймыз.

(1.1) формуласы анықтауышты кез келген жолдың элементтері арқылы жіктеу деп аталады.

6-мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Анықтауыштың қасиеттері:

1. Анықтауыштың жолдарын сәйкес бағандармен алмастырғаннан анықтауыштың мәні өзгермейді.

2. Егер анықтауыштың қандай да бір жолы (бағаны) тек нөлден тұрса, онда анықтауыш нөлге тең.

3.Егер анықтауыштың екі жолы (бағаны) пропорционал болса, онда анықтауыш нөлге тең.

4. Жолдың (бағанның) ортақ көбейткішін анықтауыштың алдына шығарып жазуға болады.

5.Егер анықтауыштың екі жолын (бағанын) алмастырса, онда анықтауыштың таңбасы өзгереді.

6. Егер қандай да бір жолдың (бағанның) элементтеріне кез келген санға көбейтілген басқа жолдың сәйкес элементтерін қосқаннан анықтауыш өзгермейді.

Әдебиеттер: 1 нег.[5-20], 11 қос. [92-115]

Бақылау сұрақтар:

1. Екінші ретті анықтауыш деген не? 4-ретті анықтауыш деген не? Анықтауыштардың

негізгі қасиеттерін атаңыз.

2. Матрицаның анықтауыштан айырмашылығы неде? Матрицаларға қолданылатын амалдарды атаңыз.

3. Екі матрицаны көбейту қай кезде орындалады?

Дәріс.

Дәріс тақырыбы:Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі.

Дәріс жоспары:

§ Матрицаның рангі.

§ Матрицарангін табу әдістері.

§ Сызықтық алгебралықтеңдеулержүйесі.

§ Сызықтықтеңдеулержүйесін шешу тәсілдері.

§ Әдебиеттер.

§ Бақылау сұрақтары.

А матрицасының рангі деп осы матрицаның нөлге тең емес минорларының ең үлкен ретін айтады және оны Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru немесе Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгілейді. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru болады, мұндағы Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru - m және n сандарының кішісі.

1-мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицасының рангін табыңыз.

1-әдіс. Минорлар әдісі. Бұл матрицаның рангі 3-тен аспайды. Сондықтан 3-ші ретті минорлар құрамыз. Егер 3-ші ретті минорлардың ішінде бір нөлге тең емес минор табылса, онда ранг 3-ке тең болады. Ал 3-ші ретті минорлардың бәрі нөлге тең болса, онда минор 2-ге не 1-ге тең болады. Оны білу үшін тағы 2-ші ретті минорлар құрамыз. Олардың ішінде бір нөлге тең емес минор табылса, онда ранг 2-ге тең болады. Ал 2-ші ретті минорлардың бәрі нөлге тең болса, минор 1-ге тең.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , 3-ші ретті минорлардың бәрі нөлге тең. Олай болса, 2-ші ретті минорлар құрамыз: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru . Демек ранг 2-ге тең, яғни Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

2-әдіс. Элементар түрлендіру әдісі. Матрицаны элементар түрлендіру деп:

1. матрицаның екі жолын (бағанын) ауыстыру;

2. матрицаның жолын (бағанын) нөлге тең емес санға көбейту;

3. бір жол (баған) элементтеріне басқа жолдың (бағанның) сәйкес қандай да бір санға көбейтілген элементтерін қосу амалдарын айтады.

Элементар түрлендіру арқылы алынған матрицаны бастапқы матрицаға эквивалентті матрица дейді және орталарына ~ белгісі қойылады. Матрицаның рангін табу үшін элементар түрлендіруді пайдаланып, матрицаны сатылы түрге келтіреміз.

Теорема. Матрицаны элементар түрлендіргеннен оның рангі өзгермейді.

2-мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru ~ Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru ~ Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru . Демек ранг 2-ге тең, яғни Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru .

Кері матрица.Егер Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru шарты орындалса, онда Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицасын Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицасына кері матрица дейді және оны Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru түрінде белгілейді. Мұндағы Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ruматрицалары бірдей өлшемді квадрат матрицалар.

Ескерту: Егер Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ruматрицасы бар болса, онда ол жалғыз болады.

Теорема. КвадратА матрицасына кері матрица табылуы үшін Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru болуы қажетті және жеткілікті. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru болғанда кері матрица Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru былайша есептелінеді Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru .

Мұндағы Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru алгебралық толықтауыштардан түзілген матрица.

3-мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru матрицасына кері матрица табыңыз. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru .

Олай болса,

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Сонда кері матрица былай болады: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru = Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru .

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі.n белгісізі бар m теңдеулер жүйесі былай жазылады:

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

мұндағы Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru жүйенің коэффициенттері, ал Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru - бос мүшелер деп аталады. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru жүйені матрицалық түрде былай жазуға болады Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru немесе

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , мұндағы А= Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru жүйе матрицасы

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

A X B

деп аталады.

Егер Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru сандар жиыны Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru теңдеулер жүйесін тепе-теңдікке айналдырса, онда бұл сандар жиыны осы жүйенің шешімі деп аталады.

Егер теңдеулер жүйесінің кемінде бір шешімі бар болса, онда жүйе үйлесімді деп аталады, ал жүйенің бір де шешімі болмаса, онда жүйе үйлесімсіздеп аталады.

Егер А матрицасын бос мүшелерден тұратын бағанмен толықтырса, онда пайда болған матрицаны кеңейтілген матрица дейді және оны Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгілейді. Сонымен

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері.

1. Крамер ережесі.n белгісізі бар n теңдеулер жүйесі берілсін

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Мұндай жүйенің А матрицасы квадрат матрица болады.

Теорема. Егер Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru жүйесі үшін Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru болса, онда жүйенің жалғыз шешімі былайша табылады:

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

мұнда Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru - Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru анықтауышындағы Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru белгісіздерінің коэффициеттерін бос мүшелермен алмастырғаннан пайда болған анықтауыш. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Крамер формуласы деп аталады.

4-мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru жүйесін Крамер ережесімен шешу керек.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Жауабы: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

2. Матрицалық әдіс.n белгісізі бар n теңдеулер жүйесі, яғни Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru жүйе берілсін. Жүйені матрицалық түрде былай жазамыз Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Теорема.Егер Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru болса, онда Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru жүйесінің Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru теңдігімен анықталатын жалғыз шешімі бар.

5мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru жүйесін матрицалық әдіспен шешу керек.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru , Жауабы: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

3. Гаусс әдісі.n белгісізі бар m теңдеулер жүйесі, яғни Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru берілсін. Жүйені Гаусс әдісімен шешу екі кезеңнен тұрады. Бірінші кезеңде (тік жүріс) жүйе трапеция тәріздес түрге келтіріледі.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru – трапеция тәріздес жүйе.

Мұнда Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru коэффициенттері жүйенің негізгі элементтері деп аталады.

Екінші кезіңде (кері жүріс) мүмкін болса, шыққан жүйеден біртіндеп белгісіздерді табады. Практикада жүйемен емес кеңейтілген матрицамен істеген ыңғайлы болады. Сондықтан жүйені Гаусс әдісімен шешу үшін кеңейтілген матрица құрып,оны элементарлық түрлендірудің көмегімен трапеция тәріздес түрге келтіреді. Бұл жағдайда Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru коэффициентінің 1-ге тең болғаны ыңғайлы. Ол үшін теңдеулердің орындарын ауыстыру керек немесе теңдеудің екі жағын да Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru бөлу керек. Содан соң қайтадан жүйе құрып, сол жүйені шешеміз.

6-мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru жүйесін Гаусс әдісімен шешу керек.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru ~ Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru Екінші матрицаның екінші жолын алу үшін бірінші жолды Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru -ге көбейтіп, екінші жолға қостық, ал үшінші жолын алу үшін бірінші жолды Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru ге көбейтіп, үшінші жолға қостық. Жүйе матрицасы үшбұрышты түрге келді. Енді қайтадан матрицадан жүйеге көшейік және соңғы жолдан бастап жазайық.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru . Осыдан Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru . Жауабы: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru

Теорема (Кронекер-Капелли) Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru жүйе үйлесімді болуы үшін жүйенің матрицасының рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болуы қажетті және жеткілікіті, яғни Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru .

Әдебиеттер: 1 нег.[ 20-41], 11 қос. [115-135].

Бақылау сұрақтар:

1. Матрицаның рангісінің анықтамасын беріңіз.

2. Кері матрицаның анықтамасын беріңіз.

3. Кері матрица қалай есептелінеді?

4. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің әдістерін айтыңыз.

Дәріс.

Дәріс тақырыбы:Векторлар. Скалярлық көбейтінді.

Дәріс жоспары:

§ Векторлар.

§ Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар.

§ Векторлардың сызықтық тәуелділігі.

§ Базис.

§ Векторларды координат өстерінің орттары арқылы жіктеу.

§ Координаттарымен берілген векторларға амалдар қолдану.

§ Векторлардың скаляр көбейтіндісі.

§ Әдебиеттер.

§ Бақылау сұрақтары.

Вектор деп бағытталған кесіндіні айтады, яғни кесіндінің белгілі бір ұзындығы және бағыты болады. Егер А – вектордың басы, ал В –вектордың ұшы болса, онда вектор Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru немесе Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru символымен белгіленеді. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru векторы Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru векторына қарама-қарсы вектор деп аталады (оның басы В нүктесінде, ал ұшы А нүктесінде орналасқан). Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru векторына қарама-қарсы векторды Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгілейді. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru векторының ұзындығынемесе модулідеп Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru кесіндісінің ұзындығын айтады және оны Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru немесе Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгілейді. Ұзындығы нөлге тең векторды нөлдік вектор деп атайды және ол Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгіленеді. Нөлдік вектордың бағыты болмайды.

Ұзындығы бірге тең векторды бірлік вектор деп атайды және оны Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгілейді. Егер бірлік вектордың бағыты Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru векторының бағытымен сәйкес келсе, онда ол Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru векторының орты деп аталады және Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгіленеді.

Параллель түзулерде немесе бір түзудің бойында жататын векторлар коллинеар векторлар деп аталады және Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru || Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru деп белгіленеді. Коллинеар векторлар бағыттас болуы да, қарама-қарсы бағытта да болуы мүмкін.

Егер екі Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru және Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru векторлары коллинеар болып, бағыттас және ұзындықтары бірдей болса, онда оларды тең векторлар ( Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері. - student2.ru ) дейді. Тең векторлар еркін векторлар деп те аталады. Бұл векторлардың басталған нүктесін кеңістіктегі кез келген нүктеге көшіруге болады. Аналитикалық геометрияда еркін (бос) векторлар қарастырылады.

Егер кеңістіктегі үш вектор бір жазықтықта немесе параллель жазықтықтарда жатса, онда олар компланар векторлар деп аталады.

Наши рекомендации