Теңдеулер жүйесін шешу. Кері матрица әдісі. Крамер формуласы.

п сызықтық-алгебралық теңдеулер жүйесі берілген:

xj = bi; (i = 1, 2, ...n). (4.1)

Жүйе коэффициенттерінің матрицасын және белгісіздер мен бос мүшелердің вектор-бағандарын құрастырамыз:

A = [aij ], x = [xj ], b = [bi].

Матрицалық жазба (4.1) келесі түрде болады:

Ax = b. (4.2)

Егер А матрицасы – ерекше емес (detA = D ¹ 0) болса, онда оның кері матрицасы А-1 табылады. (4.2) теңдеуінің екі жағын сол жақтарынан кері матрицаға көбейтетін болсақ, онда мынаны аламыз:

А-1А х = А-1 b немесе х = А-1 b. (4.3)

(4.3) формуласы есептің жауабын береді. (4.3) формуласы бойынша түбірді табу үшін матрицаны айналдыра және олардың көбейтіндісін орындай білуі қажет.

Кері матрицаны одақты А~-1 = А~/ D) матрицасы арқылы бейнелей отырып, (4.3) теңдеуін келесі түрге келтіреміз:

x = A~ b,

немесе xi= D i / D,

мұнда D i= Aji bj.

AjI – А матрицасындағы aji элементінің алгебралық толықтауышы.

Қосымша D і детерминанттары D-дан і-інші бағананы бос мүшелі бағанамен ауыстыру арқылы алынады.

Осыдан Крамердің белгілі формулаларын аламыз:

x1 = D1 / D, x2 = D2 / D,... , x n = D n / D. (4.4)

Гаусс әдісі.(4.1) жүйесінің бірінші теңдеуіндегі х1–ді өрнектеп, оны жүйенің қалған теңдеулеріне қоямыз. Нәтижесінде, х1 айнымалысы жоқ n–1 теңдеуін аламыз. Алынған теңдеулердің алғашқысын да х2-ге қатысты дәл солай өрнектейміз. Осы процесті қайталай отыра, соңында тек х n айнымалысы бар жалғыз теңдеуге келеміз. Оны шешу барысында, х n-ді табамыз. Бұл алынған нәтижені пайдалана отырып, хn-1-дің мәнін аламыз және т.с.с. жалғастырамыз.

Шешім табу процесі коэффициенттің үшбұрышты матрицасынан тұратын САТ эквивалентті жүйесін құруға әкеп соғатынын көруге болады. Үшбұрышты жүйені табу процесі - тура жүріс, ал белгісіздер мәнін табу процесі – кері жүріс деп аталады.

Арифметикалық әрекеттерге қажетті N санының бағасы келесіні құрайды:

N ~ n 3 ( n > 7 болған кезде). Сонымен, n = 100 үшін N ~ 106 әрекеттер қажет.

Жордан–Гаусс әдісі.Қарапайым түрлендіру (теңдеулер жүйесін санға көбейту, теңдеуді мүше бойынша қосу/алу) арқылы жүйені келесі түрде көруге болады, яғни әр теңдеу 1 коэффициенті бар тек бір ғана айнымалыға ие, ал қалған айнымалылар нөлдік коэффициентке ие ие екенін. Осындай түрлендіру нәтижесінде жүйе шешімі жеткілікті екені айқын.

Итерация әдісі.(4.2) теңдеуі түріндегі жүйесінің п САТ берілген. Жүйенің әр теңдеуін индексі жол нөміріне тең белгісіздерге қатысты шешеміз. Содан алатынымыз (матрицалық түрде)

x = b + ax, (4.7)

мұнда

bi = b i / a i i ;ai j= – ai j / a i I (i ¹ j жағдайда);

a i j= 0 ( i = j жағдайда).

(4.7) жүйесін тізбекті жуықтау әдісі арқылы есептейміз. Нөлдік жуықтау ретінде x(o) = b теңдеуін аламыз.

Табамыз:

x(1) = b + a (x (0) ) (бірінші жуықтау)

x(2) = b + a (x (1) ) (екінші жуықтау)

және т. с. с. Процесс жақсы жинақталады, егер a элементтері өлшемі бойынша аз болса.

Бақылау сұрақтары:

1. Теңдеулер жүйесін Крамер әдісі арқылы шешу неден тұрады?

2. Қандай матрицалар үшін кері матрица табылады?

3. Гаусс әдісінің мағынасы неде?

4. Жордан-Гаусс әдісінің Гаусс әдісінен басты ерекшелігі неде?

5. САТ жүйесінің шешімін табудағы итерациялық процесс үшін формуланы жазыңыз.

Наши рекомендации